Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)

Признаки параллелограмма:

• Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• В параллелограмме противоположные стороны равны.
• В параллелограмме противоположные углы равны.
• В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство одного из признаков (по выбору):

Признак: В параллелограмме противоположные стороны равны.

Дано: ABCD — параллелограмм.

Доказать: AB = CD, BC = AD.

Доказательство:

1. Проведём диагональ AC.
2. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD и BC || AD.
3. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны:
• \( \angle BAC = \angle ACD \) (секущая AC)
• \( \angle BCA = \angle CAD \) (секущая AC)
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
• \( \angle BAC = \angle ACD \)
• \( \angle BCA = \angle CAD \)
• Сторона AC — общая.
5. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD и BC = AD.

Что и требовалось доказать.