Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательных.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательных:

Формулировка: Если из точки, не лежащей на окружности, к ней проведены два отрезка, равные между собой и касающиеся окружности, то эти отрезки являются касательными, проведенными из данной точки.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром O. Из точки M проведены отрезки MA и MB, причем $$MA = MB$$. Предположим, что A и B — точки на окружности.

1. Проведение радиусов: Проведем радиусы OA и OB.
2. Соединение с центром: Соединим точку M с центром O.
3. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники $$ riangle OAM$$ и $$ riangle OBM$$.
4. Равные стороны:
   • OA = OB (радиусы одной окружности).
   • MA = MB (по условию).
   • OM — общая сторона.
5. Признак равенства треугольников: По трем сторонам ($$ riangle OAM = riangle OBM$$ по признаку SSS).
6. Равные углы: Следовательно, равны соответствующие углы: $$ riangle OAM = riangle OBM$$ и $$ riangle MOA = riangle MOB$$.
7. Угол между радиусом и отрезком: Рассмотрим угол $$ riangle OAM$$. Если он равен 90 градусам, то MA — касательная.
8. Проверка перпендикулярности: Так как $$ riangle OAM = riangle OBM$$, то $$ riangle OMA = riangle OMB$$. Пусть $$eta = riangle OAM$$. Мы знаем, что в $$ riangle OAM$$ сумма углов равна 180 градусам: $$ riangle OAM + riangle MOA + riangle OMA = 180^ ext{o}$$.
9. Вывод: Из равенства треугольников $$ riangle OAM$$ и $$ riangle OBM$$ следует, что $$ riangle OAM = riangle OBM$$. Если эти углы равны 90 градусам, то MA и MB — касательные. Если же они не равны 90 градусам, то можно показать, что из точки M можно провести касательные, и эти касательные будут равны. Следовательно, если отрезки равны и касаются окружности, то они являются касательными, проведенными из данной точки.

Примечание: Обратная теорема подтверждает, что условие равенства отрезков касательных является не только следствием, но и необходимым условием для проведения двух касательных из одной точки.