Серия 34. Хорошо, что у нас не кружок авиамоделирования. Упражнение. Докажите и запомните формулу. a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²) 1. Почти Мудрый Барсук теперь ищет такое натуральное число п, что п! – 1 точный квадрат. Докажите, что Барсук не сможет найти и такое n. 2. Фокусник Коля по одному достает из шляпы натуральные делители числа а) 2310; b) 2310. 29; c) 2310. 2915. Сколько делителей она достанет? 3. Женя выписала 239 натуральных чисел. Докажите, что Аня сможет покрасить их в два цвета так, чтобы отношение чисел одинакового цвета не было простым числом. 4. Играют трое. На столе лежат 2019 кучек конфет, по 100 штук в каждой. За ход разрешается взять произвольное ненулевое количество конфет из одной кучи. Ходы делаются по очереди: Лиза – Витя – Дима – Лиза - Витя - Дима и так далее. Проигрывает тот, кто не может сде- лать ход. Могут ли какие-то двое, объединившись, довести оставшегося игрока до проигрыша? 5. На кружке авиамоделирования 23 школьника сидят в классе так, что все расстояния между ними различны, и кидают друг в друга само- лётики. Каждый кинул самолётик в школьника, который сидит от него дальше всего. Докажите, что есть школьник, в которого никто не кинул самолётиком. 1 6. Докажите, что а) +-+ 1-2 1-3 +-+ 4 1-1 1 + > 2. 100 1 <7. 100 1 1 1 1 b) =+=+=+-+...+. 1 2 3 4 1 1 1 1 c) ++++...+ 1 2 3 4 1 7 100 2 7. По кругу расставили 101 гнома и пронумеровали их по часовой стрелке числами 1, 2, 3, ..., 101. Первый гном заявил, что он выше следующего за ним по часовой стреле гнома. Второй гном заявил, что он выше двух следующих за ним по часовой стрелке гномов, ..., сотый гном заявил, что он выше ста следующих за ним по часовой стрелке гномов. Какое наибольшее количество гномов могли сказать правду?