Sergey Ivanovich decided to build a homemade water heater by winding 10 m of nichrome wire with a cross-sectional area of 0.2 mm² onto a porcelain cylinder. The heater is connected to a 220 V mains. The resistivity of nichrome is ρ ≈ 0.42 Ohm·mm²/m, the specific heat capacity of water is c ≈ 4200 J/(kg·°C), and its heat of vaporization is L ≈ 2.3 MJ/kg. Sergey Ivanovich decided to test his water heater. He placed it in a saucepan with 3 kg of water at a temperature of 20 °C, plugged it in, and got distracted for a while. Determine how much time passed until Sergey Ivanovich remembered his water heater if 1 kg of water had already boiled away in that time. Assume that 80% of the water heater's power is transferred to the water.

Дано:

\( L_{пр} = 10 \) м

\( S = 0.2 \text{ мм}^2 \)

\( U = 220 \text{ В} \)

\( \rho = 0.42 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м} \)

\( c = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \)

\( L = 2.3 \text{ МДж/кг} = 2.3 \times 10^6 \text{ Дж/кг} \)

\( m_{воды} = 3 \text{ кг} \)

\( T_{нач} = 20 \text{ °С} \)

\( m_{выкипело} = 1 \text{ кг} \)

\( \eta = 80\% = 0.8 \)

Найти:

\( \tau \)

Решение:

1. Рассчитаем сопротивление спирали: \[ R = \frac{\rho \cdot L_{пр}}{S} = \frac{0.42 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м} \cdot 10 \text{ м}}{0.2 \text{ мм}^2} = 21 \text{ Ом} \]
2. Рассчитаем мощность, потребляемую нагревателем: \[ P_{полная} = \frac{U^2}{R} = \frac{(220 \text{ В})^2}{21 \text{ Ом}} \approx 2304.76 \text{ Вт} \]
3. Рассчитаем полезную мощность, передаваемую воде: \[ P_{полезная} = P_{полная} \cdot \eta = 2304.76 \text{ Вт} \cdot 0.8 \approx 1843.81 \text{ Вт} \]
4. Рассчитаем энергию, необходимую для испарения 1 кг воды. Сначала нужно рассчитать, сколько энергии нужно, чтобы довести 1 кг воды от 20 °С до 100 °С, а затем добавить энергию парообразования.
• Температура кипения воды \( T_{кип} = 100 \text{ °С} \)
• Изменение температуры \( \Delta T = T_{кип} - T_{нач} = 100 \text{ °С} - 20 \text{ °С} = 80 \text{ °С} \)
• Энергия для нагрева 1 кг воды: \[ Q_{нагрев} = c \cdot m_{выкипело} \cdot \Delta T = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 80 \text{ °С} = 336000 \text{ Дж} \]
• Энергия для испарения 1 кг воды: \[ Q_{пар} = L \cdot m_{выкипело} = 2.3 \times 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 1 \text{ кг} = 2300000 \text{ Дж} \]
• Полная энергия, необходимая для испарения 1 кг воды: \[ Q_{полная} = Q_{нагрев} + Q_{пар} = 336000 \text{ Дж} + 2300000 \text{ Дж} = 2636000 \text{ Дж} \]
5. Рассчитаем время, необходимое для испарения 1 кг воды: \[ \tau = \frac{Q_{полная}}{P_{полезная}} = \frac{2636000 \text{ Дж}}{1843.81 \text{ Вт}} \approx 1429.62 \text{ с} \]
6. Переведём время в минуты: \[ \tau_{мин} = \frac{1429.62 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 23.83 \text{ мин} \]

Ответ: τ ≈ 23.83 мин.