8. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 9, а углы B и С четырёхугольника равны соответственно 116° и 94°.

Так как середина M стороны AD равноудалена от всех вершин четырёхугольника ABCD, это означает, что MA = MB = MC = MD. Следовательно, M является центром окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD. Тогда четырёхугольник ABCD – вписанный, и сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Значит: $$\angle B + \angle D = 180^\circ$$, и $$\angle C + \angle A = 180^\circ$$ Дано: $$\angle B = 116^\circ$$ и $$\angle C = 94^\circ$$. Тогда: $$\angle D = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$$ $$\angle A = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$$ Так как MA = MD, то треугольник AMD – равнобедренный, и AM = MD = R, где R – радиус описанной окружности. Поскольку M – центр окружности, AD – её диаметр. Таким образом, AD = 2R. Теперь, так как MB = MC = MA = MD = R, то треугольники ABM и DCM также равнобедренные. В треугольнике BMC, BM = MC. Угол B = 116, угол C = 94. Тогда вокруг BCD описана окружность. Следовательно, BM = MC = R. Треугольник BMC равнобедренный, а BM = MC = R. AD = BC. Значит, AD = 9. **Ответ: AD = 9**