Семен решил готовиться к экзамену по топологии каждый день. В первый день он решил 8 билетов, а каждый следующий день выполнял на одно и то же число билетов больше, чем в предыдущий день. За четырнадцать дней Семен решил 385 билетов. Сколько билетов он решил на пятый день?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (a₁) = 8 (билетов в первый день).
• Разность прогрессии (d) = 1 (увеличивал на 1 билет каждый день).
• Количество дней (n) = 14.
• Сумма всех членов прогрессии (S₁₄) = 385 (всего билетов за 14 дней).

Формула для суммы арифметической прогрессии:

• S_n = \[ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \]

Проверим, соответствует ли условие задачи формуле:

• S₁₄ = \[ \frac{2 \cdot 8 + (14-1) \cdot 1}{2} \]
• S₁₄ = \[ \frac{16 + 13}{2} \]
• S₁₄ = \[ \frac{29}{2} \]
• S₁₄ = 14.5

Полученное значение (14.5) не соответствует сумме, указанной в условии (385). Это означает, что либо в условии задачи содержится ошибка, либо увеличение количества билетов в день не является постоянной величиной, равной 1. Давайте предположим, что увеличение каждый день — это некоторая постоянная величина 'd', и сумма за 14 дней равна 385.

Используем другую формулу суммы арифметической прогрессии:

• S_n = \[ \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
• Где a_n = a₁ + (n-1)d

Подставим известные значения:

• 385 = \[ \frac{14}{2}(8 + a_{14}) \]
• 385 = 7(8 + a_{14})
• \[ \frac{385}{7} = 8 + a_{14} \]
• 55 = 8 + a_{14}
• a₁₄ = 55 - 8 = 47

Теперь найдем разность прогрессии (d), зная a₁ и a₁₄:

• a₁₄ = a₁ + (14-1)d
• 47 = 8 + 13d
• 13d = 47 - 8
• 13d = 39
• d = 3

Таким образом, каждый день Семен решал на 3 билета больше, чем в предыдущий день.

Теперь найдем, сколько билетов он решил на пятый день (a₅):

• a₅ = a₁ + (5-1)d
• a₅ = 8 + 4 × 3
• a₅ = 8 + 12
• a₅ = 20

Проверка:

• a₁ = 8
• a₂ = 11
• a₃ = 14
• a₄ = 17
• a₅ = 20
• a₆ = 23
• a₇ = 26
• a₈ = 29
• a₉ = 32
• a₁₀ = 35
• a₁₁ = 38
• a₁₂ = 41
• a₁₃ = 44
• a₁₄ = 47
• Сумма = 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 + 35 + 38 + 41 + 44 + 47 = 385.

Все верно.