Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире №468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

Решение:

1. Определим количество квартир в одном подъезде:
   Так как квартира №468 находится в 8-м подъезде, а дом 12-ти этажный, то это значит, что квартиры с 469 по 480 (480 - 468 = 12) находятся в 8-м подъезде.
   Это значит, что в каждом подъезде 12 квартир.
2. Определим, сколько этажей занимают квартиры до 8-го подъезда:
   Всего квартир до 8-го подъезда: \( (8-1) \text{ подъездов} \times 12 \text{ квартир/подъезд} = 7 \times 12 = 84 \) квартиры.
3. Найдем номер квартиры в 8-м подъезде:
   Номер квартиры в 8-м подъезде: \( 468 - 84 = 384 \).
4. Определим этаж, на котором живёт Саша:
   Так как на каждом этаже одинаковое число квартир (12), то этаж можно найти, разделив номер квартиры в подъезде на количество квартир на этаже.
   \( 384 \text{ квартиры} : 12 \text{ квартир/этаж} = 32 \) этаж.
5. Проверка:
   В 12-этажном доме, если на каждом этаже по 12 квартир, то всего квартир \( 12 \text{ этажей} \times 12 \text{ квартир/этаж} = 144 \) квартиры в каждом подъезде. Это противоречит условию, что квартира №468 находится в 8-м подъезде.
   Рассмотрим условие: «квартира №468». Это номер квартиры во всем доме, а не в подъезде.
6. Пересчитаем:
   Квартира №468.
   В каждом подъезде 12 квартир.
   Номер подъезда = \( \lceil \frac{468}{12} \rceil \) = \( \lceil 39 \rceil \) = 39-й подъезд. Но в условии сказано, что Саша живёт в 8-м подъезде. Это означает, что квартиры нумеруются по подъездам, а не по дому.
   Вернемся к предыдущему расчету:
   Квартира №468. 8-й подъезд. 12 этажей. Квартиры одинаково.
   Количество квартир на этаже = \( \frac{\text{Всего квартир в доме}}{\text{Количество этажей}} \).
   Количество квартир в подъезде = 12 этажей \(\times\) Квартир на этаже.
   Если квартира №468 в 8-м подъезде, то это значит, что перед 8-м подъездом есть 7 подъездов.
   Квартиры с 1 по 468.
   Найдем, сколько квартир в каждом подъезде:
   Номер квартиры = \( (\text{номер подъезда} - 1) \times \text{квартир в подъезде} + \text{номер квартиры в подъезде} \)
   \( 468 = (8-1) \times \text{квартир в подъезде} + \text{номер квартиры в подъезде} \)
   \( 468 = 7 \times \text{квартир в подъезде} + \text{номер квартиры в подъезде} \)
   Мы знаем, что дом 12-этажный.
   Пусть \( k \) - количество квартир на этаже.
   Тогда количество квартир в подъезде = \( 12k \).
   \( 468 = 7 \times 12k + \text{номер квартиры в подъезде} \)
   \( 468 = 84k + \text{номер квартиры в подъезде} \)
   Нумерация квартир в доме начинается с единицы.
   Поскольку \( 468 \) - номер квартиры, и она находится в 8-м подъезде, это означает, что квартиры \( 1 \) - \( 468 \) находятся в подъездах до 8-го.
   Найдем количество квартир в одном подъезде:
   Квартиры в 8-м подъезде начинаются после квартиры №468. Это значит, что до 8-го подъезда есть 7 полных подъездов. Номер 468 - это номер квартиры в доме, а не в подъезде. Если Саша живет в 8-м подъезде, а квартира №468, значит, в каждом подъезде одно и то же количество квартир.
   Количество квартир в одном подъезде:
   Квартиры с 1 по 468.
   В 8-м подъезде квартира №468.
   Это означает, что квартиры \( 1 \) - \( \text{к-во квартир в подъезде} \) - это 1-й подъезд.
   Квартиры \( \text{к-во квартир в подъезде} + 1 \) - \( 2 \times \text{к-во квартир в подъезде} \) - это 2-й подъезд.
   ...
   Квартиры \( 7 \times \text{к-во квартир в подъезде} + 1 \) - \( 8 \times \text{к-во квартир в подъезде} \) - это 8-й подъезд.
   Значит, \( 468 \) находится в этом диапазоне.
   \( 7 \times \text{к-во квартир в подъезде} < 468 \le 8 \times \text{к-во квартир в подъезде} \).
   Дом 12-этажный, значит, количество квартир в подъезде делится на 12.
   Пробуем делители 12:
   Если \( \text{квартир в подъезде} = 12 \), то \( 7 \times 12 = 84 \) и \( 8 \times 12 = 96 \). \( 468 \) не попадает в этот диапазон.
   Если \( \text{квартир в подъезде} = 24 \), то \( 7 \times 24 = 168 \) и \( 8 \times 24 = 192 \). \( 468 \) не попадает.
   Если \( \text{квартир в подъезде} = 36 \), то \( 7 \times 36 = 252 \) и \( 8 \times 36 = 288 \). \( 468 \) не попадает.
   Если \( \text{квартир в подъезде} = 48 \), то \( 7 \times 48 = 336 \) и \( 8 \times 48 = 384 \). \( 468 \) не попадает.
   Если \( \text{квартир в подъезде} = 60 \), то \( 7 \times 60 = 420 \) и \( 8 \times 60 = 480 \). \( 468 \) попадает в этот диапазон. Значит, в каждом подъезде 60 квартир.
   Теперь найдем номер квартиры в 8-м подъезде:
   Номер квартиры в подъезде = \( 468 - 7 \times 60 = 468 - 420 = 48 \).
   Определим этаж:
   На каждом этаже одинаковое число квартир.
   Количество квартир на этаже = \( \frac{\text{Квартир в подъезде}}{\text{Количество этажей}} = \frac{60}{12} = 5 \) квартир на этаже.
   Номер этажа = \( \lceil \frac{\text{Номер квартиры в подъезде}}{\text{Квартир на этаже}} \) = \( \lceil \frac{48}{5} \rceil \) = \( \lceil 9.6 \rceil \) = 10 \).
   Проверка:
   10-й этаж. Квартиры на этаже: 5.
   Квартиры на 10-м этаже: \( (10-1) \times 5 + 1 \) - \( 10 \times 5 \) = 46 - 50.
   Номер квартиры 48 находится на 10-м этаже.
   Ответ: Саша живет на 10 этаже.

Ответ: Саша живёт на 10 этаже.