САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 C-1 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что ДАBE=∠CBD, ∠BEA=∠BDC. Докажите, что периметры четырехугольников ABDE и BEDC равны. 2. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Найдите эти углы. C-2 1. В четырехугольнике ABCD ABCD, BC||AD, AC=20 см, BD=10 см, АВ=13 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника COD. 2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен перпендикуляр ВК к прямой AD; ВК=АВ. Найдите Си 20. C-3 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=CD, ∠B=70°, ∠BCA=60°, ∠AC=50°. Докажите, что ВС=AD. 2. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром АС, причем точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ∠ABC=∠ADC. C-4 1. В трапеции ABCD ВС - меньшее основание. На отрезке AD взята точка Е так, что BE||CD; ∠ABE=70°, ∠BEA=50°. Найдите углы трапеции. 2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее основание.

Для решения задач потребуется знание геометрии, свойств многоугольников и трапеций. C-1 1. Для доказательства равенства периметров четырехугольников ABDE и BEDC нужно показать, что AB + BD + DE + AE = BE + ED + DC + BC. Так как вершина B соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами, можно сделать вывод об определенных соотношениях сторон и углов, которые нужно использовать для доказательства. 2. В выпуклом девятиугольнике с равными углами каждый угол равен $$((9-2) \cdot 180^\circ) / 9 = 140^\circ$$. C-2 1. Для нахождения периметра треугольника COD потребуется использовать свойства подобных треугольников и известные длины диагоналей и стороны AB. Поскольку BC||AD, треугольники BOC и DOA подобны. Зная AC и BD, можно найти CO и OD, а затем и периметр COD. 2. Не хватает данных, чтобы найти углы C и D. Условие ВК=АВ не имеет смысла, так как не указано чему равна ВК. Если бы было указано, что ВК = 1/2 АВ, то решение могло быть таким: Рассмотрим параллелограмм ABCD, где из вершины B опущен перпендикуляр BK на сторону AD. Дано, что BK = 1/2 AB. Требуется найти углы C и D. В прямоугольном треугольнике ABK синус угла A равен отношению противолежащего катета (BK) к гипотенузе (AB): $$\sin A = \frac{BK}{AB} = \frac{1}{2}$$ Следовательно, угол A равен 30 градусам, так как $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, угол C также равен 30 градусам: $$ \angle C = \angle A = 30^\circ $$ Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам. Следовательно, угол D равен: $$ \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $$ C-3 1. Чтобы доказать, что BC = AD, можно использовать признаки равенства треугольников или свойства равнобедренных треугольников, учитывая известные углы. 2. Чтобы доказать, что ∠ABC = ∠ADC, нужно использовать свойства окружности и углов, опирающихся на одну и ту же дугу. C-4 1. В трапеции ABCD с BC как меньшим основанием, где на отрезке AD взята точка E так, что BE||CD, и ∠ABE=70°, ∠BEA=50°, можно найти углы трапеции, используя свойства параллельных прямых и углов, образованных ими. * ∠BAE = ∠BEA = 50° (как углы при основании равнобедренного треугольника ABE, если предположить, что AB = BE). Но это не обязательно так. ∠ABE = 70° (дано). * ∠AEB + ∠BEC = 180° (смежные углы). => ∠BEC = 180° - 50° = 130°. Поскольку BE||CD, то ∠ECD = ∠BEC = 130° (как соответственные углы при параллельных прямых BE и CD и секущей EC). * Сумма углов в четырехугольнике ABCD равна 360°. Значит, ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°. * Мы знаем, что ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC. И у нас нет данных, чтобы найти точное значение угла ∠BCD. Нужны дополнительные сведения или уточнения в условии. 2. В прямоугольной трапеции, где острый угол равен 45°, а меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см, можно найти большее основание, используя тригонометрические соотношения или свойства прямоугольного треугольника. Пусть ABCD — данная прямоугольная трапеция, где AB — меньшая боковая сторона, BC — меньшее основание, AD — большее основание, и угол A равен 45 градусам. Также дано, что AB = BC = 10 см. Проведем высоту CH из вершины C на большее основание AD. Тогда CH = AB = 10 см, так как ABCD — прямоугольная трапеция. Рассмотрим треугольник CHD. Угол CDH равен 45 градусам, так как угол A равен 45 градусам, и сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180 градусам. Таким образом, треугольник CHD — равнобедренный прямоугольный треугольник, и CH = HD = 10 см. Тогда большее основание AD равно сумме меньшего основания BC и отрезка HD: $$ AD = BC + HD = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см} $$ Ответ: Большее основание трапеции равно 20 см.