Самостоятельная работа1 Вариант 1 Вариант 2. { y=x²+2, x²+y²=9, y=-x² +7. (-x²=2 2 {

Вариант 1

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = -x^2 + 7. \end{cases}\]

Выразим x² из первого уравнения:

\[x^2 = y - 2\]

Подставим это во второе уравнение:

\[y = -(y - 2) + 7\]

\[y = -y + 2 + 7\]

\[2y = 9\]

\[y = \frac{9}{2} = 4.5\]

Теперь найдем x:

\[x^2 = y - 2 = 4.5 - 2 = 2.5\]

\[x = \pm \sqrt{2.5}\]

Теперь найдем значения x, приравняв оба уравнения:

\[x^2 + 2 = -x^2 + 7\]

\[2x^2 = 5\]

\[x^2 = \frac{5}{2}\]

\[x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \sqrt{2.5}\]

Если \[x = \sqrt{2.5}\]:

\[y = (\sqrt{2.5})^2 + 2 = 2.5 + 2 = 4.5\]

Если \[x = -\sqrt{2.5}\]:

\[y = (-\sqrt{2.5})^2 + 2 = 2.5 + 2 = 4.5\]

Первый вариант решения неверен. Попробуем решить по-другому. Приравняем оба уравнения:

\[x^2 + 2 = -x^2 + 7\]

\[2x^2 = 5\]

\[x^2 = \frac{5}{2} = 2.5\]

\[x = \pm \sqrt{2.5}\]

Значит, предыдущий результат был верен. Где-то ошибка в вычислениях. Решим графически:

При x = -1:

\[y = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3\]

\[y = -(-1)^2 + 7 = -1 + 7 = 6\]

При x = 1:

\[y = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3\]

\[y = -(1)^2 + 7 = -1 + 7 = 6\]

При x = 2:

\[y = (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6\]

\[y = -(2)^2 + 7 = -4 + 7 = 3\]

Точка пересечения при x = -1, y = 3 и x = 1, y = 3.

Вариант 2

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y - x^2 = 2. \end{cases}\]

Выразим x² из второго уравнения:

\[x^2 = y - 2\]

Подставим в первое уравнение:

\[(y - 2) + y^2 = 9\]

\[y^2 + y - 11 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4(1)(-11) = 1 + 44 = 45\]

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}\]

Найдем x:

\[x^2 = y - 2 = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5} - 4}{2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}\]

Проверим, чему равен x при y = 7:

\[x^2 = y - 2 = 7 - 2 = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}\]