Самостоятельная работа Геометрическая прогрессия Вариант 1 1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии, если первый её член равен \(\frac{1}{3}\), а знаменатель прогрессии равен -2. 2. В геометрической прогрессии (bn) b₁ = 5, q = 2. Найдите номер члена этой прогрессии, равного 320. 3. В геометрической прогрессии (bn) b₁ + b3 = 70, b₄ + b6 = 1890. Найдите первый член этой прогрессии и её знаменатель. 4. Запишите конечную геометрическую прогрессию, состоящую из четырёх чисел, зная, что сумма крайних её членов равна 9360, a сумма средних членов равна 2880. 5. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4 и 19, то получатся числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии

Дано: \( b_1 = \frac{1}{3} \), \( q = -2 \). Найти: \( b_8 \)

Решение: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)

Тогда: \[ b_8 = \frac{1}{3} \cdot (-2)^{8-1} = \frac{1}{3} \cdot (-2)^7 = \frac{1}{3} \cdot (-128) = -\frac{128}{3} \]

Ответ: \( b_8 = -\frac{128}{3} \)

2. Найдите номер члена геометрической прогрессии

Дано: \( b_1 = 5 \), \( q = 2 \), \( b_n = 320 \). Найти: n

Решение: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)

Подставим известные значения: \[ 320 = 5 \cdot 2^{n-1} \]

Разделим обе части на 5: \[ 64 = 2^{n-1} \]

Представим 64 как степень двойки: \[ 2^6 = 2^{n-1} \]

Приравняем показатели степеней: \[ 6 = n - 1 \]

Решим уравнение относительно n: \[ n = 6 + 1 = 7 \]

Ответ: n = 7

3. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии

Дано: \( b_1 + b_3 = 70 \), \( b_4 + b_6 = 1890 \). Найти: \( b_1 \), q

Решение: Выразим \( b_3, b_4, b_6 \) через \( b_1 \) и q:

\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \], \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \]

Подставим в уравнения: \[ b_1 + b_1 \cdot q^2 = 70 \] и \[ b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^5 = 1890 \]

Вынесем \( b_1 \) за скобки: \[ b_1(1 + q^2) = 70 \] и \[ b_1 \cdot q^3(1 + q^2) = 1890 \]

Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{b_1 \cdot q^3(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{1890}{70} \]

Упростим: \[ q^3 = 27 \]

Извлечем кубический корень: \[ q = 3 \]

Подставим q в первое уравнение: \[ b_1(1 + 3^2) = 70 \]

\[ b_1(1 + 9) = 70 \]

\[ b_1 \cdot 10 = 70 \]

\[ b_1 = 7 \]

Ответ: \( b_1 = 7 \), q = 3

4. Запишите конечную геометрическую прогрессию

Пусть геометрическая прогрессия имеет вид: \( b_1, b_2, b_3, b_4 \). По условию: \[ b_1 + b_4 = 9360 \] и \[ b_2 + b_3 = 2880 \]

Выразим члены прогрессии через \( b_1 \) и q: \[ b_1 + b_1 \cdot q^3 = 9360 \] и \[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 2880 \]

Вынесем \( b_1 \) за скобки: \[ b_1(1 + q^3) = 9360 \] и \[ b_1 \cdot q(1 + q) = 2880 \]

Разделим первое уравнение на второе: \[ \frac{1 + q^3}{q(1 + q)} = \frac{9360}{2880} = \frac{13}{4} \]

Упростим: \[ \frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{13}{4} \]

\[ \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{13}{4} \]

Приведем к общему знаменателю: \[ 4 - 4q + 4q^2 = 13q \]

\[ 4q^2 - 17q + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 \]

\[ q = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8} \]

\[ q_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4 \], \[ q_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Рассмотрим случай \( q = 4 \): \[ b_1 \cdot 4(1 + 4) = 2880 \]

\[ b_1 \cdot 20 = 2880 \]

\[ b_1 = \frac{2880}{20} = 144 \]

Тогда прогрессия: 144, 576, 2304, 9216

Рассмотрим случай \( q = \frac{1}{4} \): \[ b_1 \cdot \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{4}) = 2880 \]

\[ b_1 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = 2880 \]

\[ b_1 \cdot \frac{5}{16} = 2880 \]

\[ b_1 = \frac{2880 \cdot 16}{5} = 9216 \]

Тогда прогрессия: 9216, 2304, 576, 144

Ответ: 144, 576, 2304, 9216 или 9216, 2304, 576, 144

5. Найдите исходные числа

Пусть арифметическая прогрессия имеет вид: \( a - d, a, a + d \). По условию: \[ (a - d) + a + (a + d) = 15 \]

\[ 3a = 15 \]

\[ a = 5 \]

Тогда числа имеют вид: \( 5 - d, 5, 5 + d \). После прибавления чисел 1, 4 и 19 получим геометрическую прогрессию: \( 6 - d, 9, 24 + d \).

Для геометрической прогрессии верно: \[ \frac{9}{6 - d} = \frac{24 + d}{9} \]

\[ 81 = (6 - d)(24 + d) \]

\[ 81 = 144 + 6d - 24d - d^2 \]

\[ d^2 + 18d - 63 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ D = 18^2 - 4 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576 \]

\[ d = \frac{-18 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-18 \pm 24}{2} \]

\[ d_1 = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3 \], \[ d_2 = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \]

Рассмотрим случай \( d = 3 \): числа 2, 5, 8

Рассмотрим случай \( d = -21 \): числа 26, 5, -16

Ответ: 2, 5, 8 или 26, 5, -16