Самостоятельная работа 2 вариант «Прямоугольный треугольник» 1) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 54°. Найти другой. острый угол. 2) В прямоугольном треугольнике СЕО гипотенуза СО равна 42 см, LO = 60°. Найти катет ЕО. 3) На рисунке 2 LABO = LDCO = 90°. AO = OD. Найдите CD, если АВ = 7 см. 4) В прямоугольном треугольнике DBC ( LC = 90°) провели высоту СК. Найти отрезок ВК, если DB = 20 см, ВС = 10 см.

Выполняю задания.

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть один из острых углов равен 54°, тогда другой острый угол равен 90° - 54° = 36°.

   Ответ: 36°

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CEO. Катет EO лежит против угла в 60°. Гипотенуза CO равна 42 см. Тогда катет EO равен половине гипотенузы CO, так как лежит против угла в 30°.

   $$EO = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21 \text{ см}$$.

   Ответ: 21 см

3. Рассмотрим рисунок, где ∠ABO = ∠DCO = 90°, AO = OD, AB = 7 см. Треугольники AOB и DOC равны по гипотенузе и острому углу (AO = OD, ∠AOB = ∠DOC как вертикальные, ∠ABO = ∠DCO = 90°). Следовательно, AB = CD = 7 см.

   Ответ: 7 см

4. В прямоугольном треугольнике DBC (∠C = 90°) проведена высота CK. Необходимо найти отрезок BK, если DB = 20 см, BC = 10 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник DBC. По теореме Пифагора, $$DB^2 = BC^2 + DC^2$$. Отсюда $$DC^2 = DB^2 - BC^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$$

   $$DC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$.

   Площадь треугольника DBC можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot CK$$

   Отсюда $$BC \cdot DC = DB \cdot CK$$. $$10 \cdot 10\sqrt{3} = 20 \cdot CK$$. $$CK = \frac{100\sqrt{3}}{20} = 5\sqrt{3}$$.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. По теореме Пифагора, $$CD^2 = CK^2 + KD^2$$. Отсюда $$KD^2 = CD^2 - CK^2 = 300 - (5\sqrt{3})^2 = 300 - 25 \cdot 3 = 300 - 75 = 225$$

   $$KD = \sqrt{225} = 15$$.

   $$BK = BD - KD = 20 - 15 = 5 \text{ см}$$.

   Ответ: 5 см