Самостоятельная работа по теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Вариант 1. 1. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. Гипотенуза треугольника делится этой высотой на отрезки длиной 16 и 25. Найдите эту высоту и катеты треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике катет равен 4, а проекция этого катета на гипотенузу равна 2. Найдите гипотенузу, второй катет и его проекцию на гипотенузу.

Решение:

Задача 1.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным отрезков, на которые она делит гипотенузу. Катеты являются средними пропорциональными гипотенузы и прилежащих к ним отрезков.

Пусть высота равна h, а отрезки гипотенузы равны p = 16 и q = 25.

Используем формулу:

\( h^2 = p \cdot q \)

\( h^2 = 16 \cdot 25 \)

\( h^2 = 400 \)

\( h = \sqrt{400} = 20 \) см.

Теперь найдём катеты (обозначим их a и b):

\( a^2 = p \cdot (p+q) = 16 \cdot (16+25) = 16 \cdot 41 = 656 \)

\( a = \sqrt{656} = \sqrt{16 \cdot 41} = 4\sqrt{41} \) см.

\( b^2 = q \cdot (p+q) = 25 \cdot (16+25) = 25 \cdot 41 = 1025 \)

\( b = \sqrt{1025} = \sqrt{25 \cdot 41} = 5\sqrt{41} \) см.

Ответ: Высота равна 20 см, катеты равны \( 4\sqrt{41} \) см и \( 5\sqrt{41} \) см.

Задача 2.

Пусть катет равен a = 4, а его проекция на гипотенузу равна p = 2. Пусть гипотенуза равна c, а второй катет равен b, и его проекция на гипотенузу равна q.

Используем формулу:

\( a^2 = c \cdot p \)

\( 4^2 = c \cdot 2 \)

\( 16 = 2c \)

\( c = \frac{16}{2} = 8 \) см.

Теперь найдём второй катет b. Гипотенуза c состоит из отрезков p и q, значит:

\( c = p + q \)

\( 8 = 2 + q \)

\( q = 8 - 2 = 6 \) см.

Теперь найдём второй катет b, используя теорему Пифагора или формулу среднего пропорционального:

Способ 1 (Теорема Пифагора):

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

\( 4^2 + b^2 = 8^2 \)

\( 16 + b^2 = 64 \)

\( b^2 = 64 - 16 = 48 \)

\( b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см.

Способ 2 (Среднее пропорциональное):

\( b^2 = c \cdot q \)

\( b^2 = 8 \cdot 6 = 48 \)

\( b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см.

Ответ: Гипотенуза равна 8 см, второй катет равен \( 4\sqrt{3} \) см, его проекция на гипотенузу равна 6 см.