Самостоятельная работа по теме «Площадь и объем параллелепипеда» Вариант 1 1. Найдите площадь поверхности и объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 10 и 5. Площадь поверхности параллелепипеда равна 400. Найдите его диагональ. 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 2 и острым углом 30°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 30° и равно 3. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

1. Анализ рисунка:

• На рисунке изображена составная фигура, состоящая из двух прямоугольных параллелепипедов.
• Измерения верхнего параллелепипеда: длина 5, ширина 3, высота 3.
• Измерения нижнего параллелепипеда: длина 5, ширина 3, высота 1.

2. Расчет площади поверхности:

Площадь поверхности данной фигуры не равна площади поверхности полного прямоугольного параллелепипеда, так как часть поверхности скрыта.

Площадь боковых граней:

• Верхний параллелепипед: 2 * (5 * 3) + 2 * (3 * 3) = 30 + 18 = 48 (без верхней грани).
• Нижний параллелепипед: 2 * (5 * 3) + 2 * (3 * 1) = 30 + 6 = 36 (без нижней грани).
• При подсчете площади боковых граней, мы должны учесть, что верхняя грань нижнего параллелепипеда и нижняя грань верхнего параллелепипеда частично перекрываются.
• Боковая поверхность верхнего параллелепипеда: 2 * (5 * 3) + 2 * (3 * 3) = 30 + 18 = 48.
• Боковая поверхность нижнего параллелепипеда: 2 * (5 * 1) + 2 * (3 * 1) = 10 + 6 = 16.
• Нижняя грань нижнего параллелепипеда: 5 * 3 = 15.
• Верхняя грань верхнего параллелепипеда: 5 * 3 = 15.
• Площадь поверхности = (Площадь поверхности верхнего) + (Площадь поверхности нижнего) - 2 * (Площадь перекрытия) + (Площадь нижней грани нижнего).
• Площадь перекрытия = 5 * 3 = 15.
• Площадь поверхности = 2*(5*3 + 3*3 + 5*3) + 2*(5*1 + 3*1 + 5*3) - 2*(5*3) + 5*3 = (30+18+15) + (10+6+15) - 30 + 15 = 63 + 31 - 30 + 15 = 79.
• Более простой подход:
• Нижняя грань: 5 * 3 = 15
• Верхняя грань: 5 * 3 = 15
• Передняя и задняя грани: 2 * (5 * 1) + 2 * (5 * 3) = 10 + 30 = 40
• Левая и правая грани: 2 * (3 * 1) + 2 * (3 * 3) = 6 + 18 = 24
• Итого: 15 + 15 + 40 + 24 = 94

3. Расчет объема:

Объем фигуры равен сумме объемов двух параллелепипедов.

Объем верхнего параллелепипеда: V1 = 5 * 3 * 3 = 45.

Объем нижнего параллелепипеда: V2 = 5 * 3 * 1 = 15.

Общий объем: V = V1 + V2 = 45 + 15 = 60.

Ответ: Площадь поверхности = 94, Объем = 60