Самостоятельная работа по алгебре на тему «Рациональные уравнения» Вариант 2 №1 Решите уравнения: a) (3x² - 2x - 5)(x + 2) = 0 б) x³ - 4x = 0 в) x⁴ - 6x² + 5 = 0 №2 Решите уравнения: a) \(\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} = 0\) б) \(\frac{3}{x^2 - 6x + 9} = \frac{1}{x + 3} - \frac{6}{9 - x^2}\) №3 Решите задачу: Первый токарь вытачивает в час на 2 детали больше, чем второй. Поэтому он вытачивает 48 деталей на час раньше второго токаря. Сколько деталей в час вытачивает каждый токарь? №4 Решите уравнение: (x²+3x)² - 14x² - 42x + 40 = 0

Решение:

№1 Решите уравнения:

1. a) \( (3x^2 - 2x - 5)(x + 2) = 0 \)
   \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \)
   \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
   \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)
   Из \( x + 2 = 0 \) следует \( x = -2 \).
   Ответ: \( x = -2, x = -1, x = \frac{5}{3} \)
2. б) \( x^3 - 4x = 0 \)
   \( x(x^2 - 4) = 0 \)
   \( x = 0 \) или \( x^2 - 4 = 0 \)
   \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \)
   Ответ: \( x = -2, x = 0, x = 2 \)
3. в) \( x^4 - 6x^2 + 5 = 0 \)
   Сделаем замену \( y = x^2 \). Тогда \( y^2 - 6y + 5 = 0 \)
   \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)
   \( y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)
   \( y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \)
   Возвращаемся к замене: \( x^2 = 5 \) или \( x^2 = 1 \)
   \( x = \pm \sqrt{5} \) или \( x = \pm 1 \)
   Ответ: \( x = -\sqrt{5}, x = -1, x = 1, x = \sqrt{5} \)

№2 Решите уравнения:

1. a) \( \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} = 0 \)
   \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) и \( x - 3 \neq 0 \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
   \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
   \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
   Так как \( x \neq 3 \), то \( x = -1 \).
   Ответ: \( x = -1 \)
2. б) \( \frac{3}{x^2 - 6x + 9} = \frac{1}{x + 3} - \frac{6}{9 - x^2} \)
   \( \frac{3}{(x-3)^2} = \frac{1}{x+3} - \frac{6}{-(x^2 - 9)} \)
   \( \frac{3}{(x-3)^2} = \frac{1}{x+3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} \)
   Общий знаменатель \( (x-3)^2(x+3) \)
   \( 3(x+3) = (x-3)(x+3) + 6(x-3) \)
   \( 3x + 9 = x^2 - 9 + 6x - 18 \)
   \( 3x + 9 = x^2 + 6x - 27 \)
   \( x^2 + 3x - 36 = 0 \)
   \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 9 + 144 = 153 \)
   \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{153}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{17}}{2} \)
   Ответ: \( x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{17}}{2} \)

№3 Решите задачу:

Пусть \( x \) — количество деталей, которое вытачивает второй токарь в час.
Тогда первый токарь вытачивает \( x + 2 \) деталей в час.
Время, которое требуется второму токарю для изготовления 48 деталей: \( t_2 = \frac{48}{x} \) часов.
Время, которое требуется первому токарю для изготовления 48 деталей: \( t_1 = \frac{48}{x+2} \) часов.
По условию, первый токарь вытачивает 48 деталей на час раньше второго, то есть \( t_2 = t_1 + 1 \).
\( \frac{48}{x} = \frac{48}{x+2} + 1 \)
Умножим обе части уравнения на \( x(x+2) \):
\( 48(x+2) = 48x + x(x+2) \)
\( 48x + 96 = 48x + x^2 + 2x \)
\( 96 = x^2 + 2x \)
\( x^2 + 2x - 96 = 0 \)
\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 4 + 384 = 388 \)
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{388}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{97}}{2} = -1 \pm \sqrt{97} \)
Так как скорость не может быть отрицательной, то \( x = -1 + \sqrt{97} \).
Приблизительное значение \(
\sqrt{97}
\approx 9.85 \).
\( x \approx -1 + 9.85 = 8.85 \) (скорость второго токаря).
\( x+2 \approx 8.85 + 2 = 10.85 \) (скорость первого токаря).
Ответ: Второй токарь вытачивает \( -1 + \sqrt{97} \) деталей в час, первый — \( 1 + \sqrt{97} \) деталей в час.

№4 Решите уравнение:

\( (x^2+3x)^2 - 14x^2 - 42x + 40 = 0 \)
Вынесем \( -14 \) из \( -14x^2 - 42x \): \( -14(x^2 + 3x) \)
Пусть \( y = x^2 + 3x \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 14y + 40 = 0 \)
\( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \)
\( y_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = \frac{14 + 6}{2} = 10 \)
\( y_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4 \)
Теперь вернёмся к замене:
1) \( x^2 + 3x = 10 \) \( \Rightarrow x^2 + 3x - 10 = 0 \)
\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \)
\( x_1 = \frac{-3+7}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-3-7}{2} = -5 \)
2) \( x^2 + 3x = 4 \) \( \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 \)
\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \)
\( x_3 = \frac{-3+5}{2} = 1 \), \( x_4 = \frac{-3-5}{2} = -4 \)
Ответ: \( x = -5, x = -4, x = 1, x = 2 \)