Контрольные задания
Вопрос:

Самостоятельная работа по алгебре на тему «Рациональные уравнения» Вариант 1 №1 Решите уравнения: a) (2x² - 5x -7)(x - 1) = 0 б) x³ - 9x = 0 в) x⁴ - 7x² + 6 =0 №2 Решите уравнения: a) \(\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = 0\) б) \(\frac{5}{x^2 + 2x + 1} = \frac{2}{1 - x^2} + \frac{1}{x - 1}\) №3 Решите задачу: Расстояние между пунктами А и В равно 90 км. Из А в В выезжают одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибывает в пункт В на час раньше второго. Какова скорость каждого велосипедиста? №4 Решите уравнение: (x² - 5x)² + 10x² - 50x + 24 = 0

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

№1 Решите уравнения:

  1. a) \( (2x^2 - 5x - 7)(x - 1) = 0 \)
    Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
    \( 2x^2 - 5x - 7 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
    Для \( 2x^2 - 5x - 7 = 0 \): \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \).
    \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)
    \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
    Из \( x - 1 = 0 \) следует \( x = 1 \).
    Ответ: \( x = -1, x = 1, x = \frac{7}{2} \)
  2. б) \( x^3 - 9x = 0 \)
    Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x^2 - 9) = 0 \)
    \( x = 0 \) или \( x^2 - 9 = 0 \)
    \( x^2 = 9 \) \( x = \pm 3 \)
    Ответ: \( x = -3, x = 0, x = 3 \)
  3. в) \( x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \)
    Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( y = x^2 \). Тогда \( y^2 - 7y + 6 = 0 \)
    \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \)
    \( y_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6 \)
    \( y_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1 \)
    Возвращаемся к замене: \( x^2 = 6 \) или \( x^2 = 1 \)
    \( x = \pm \sqrt{6} \) или \( x = \pm 1 \)
    Ответ: \( x = -\sqrt{6}, x = -1, x = 1, x = \sqrt{6} \)

№2 Решите уравнения:

  1. a) \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = 0 \)
    Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
    \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) и \( x - 2 \neq 0 \)
    \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
    \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
    \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)
    Так как \( x \neq 2 \), то \( x = 1 \).
    Ответ: \( x = 1 \)
  2. б) \( \frac{5}{x^2 + 2x + 1} = \frac{2}{1 - x^2} + \frac{1}{x - 1} \)
    Приведём к общему знаменателю \( (x+1)^2 (1-x)(1+x) \).
    \( \frac{5}{(x+1)^2} = \frac{2}{(1-x)(1+x)} + \frac{1}{x-1} \)
    \( \frac{5}{(x+1)^2} = \frac{2}{(1-x)(1+x)} - \frac{1}{1-x} \)
    Общий знаменатель \( (x+1)^2 (1-x) \)
    \( \frac{5(1-x)}{(x+1)^2 (1-x)} = \frac{2(x+1)}{(1-x)(1+x)(x+1)} - \frac{(x+1)^2}{(1-x)(x+1)^2} \)
    \( 5(1-x) = 2(x+1) - (x+1)^2 \)
    \( 5 - 5x = 2x + 2 - (x^2 + 2x + 1) \)
    \( 5 - 5x = 2x + 2 - x^2 - 2x - 1 \)
    \( 5 - 5x = 1 - x^2 \)
    \( x^2 - 5x - 1 + 5 = 0 \)
    \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
    \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
    \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5+3}{2} = 4 \)
    \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5-3}{2} = 1 \)
    Проверим знаменатели: \( x \neq -1, x \neq 1 \).
    Таким образом, \( x=1 \) не подходит.
    Ответ: \( x=4 \)

№3 Решите задачу:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч), а \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч).
\( v_1 = v_2 + 1 \)
Время в пути для первого: \( t_1 = \frac{90}{v_1} = \frac{90}{v_2 + 1} \)
Время в пути для второго: \( t_2 = \frac{90}{v_2} \)
По условию, \( t_2 = t_1 + 1 \)
\( \frac{90}{v_2} = \frac{90}{v_2 + 1} + 1 \)
Умножим всё на \( v_2(v_2 + 1) \):
\( 90(v_2 + 1) = 90v_2 + v_2(v_2 + 1) \)
\( 90v_2 + 90 = 90v_2 + v_2^2 + v_2 \)
\( 90 = v_2^2 + v_2 \)
\( v_2^2 + v_2 - 90 = 0 \)
\( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 \)
\( v_2 = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 + 19}{2} = 9 \)
\( v_1 = v_2 + 1 = 9 + 1 = 10 \)
Ответ: Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, скорость второго — 9 км/ч.

№4 Решите уравнение:

\( (x^2 - 5x)^2 + 10x^2 - 50x + 24 = 0 \)
Вынесем \( 10 \) из \( 10x^2 - 50x \): \( 10(x^2 - 5x) \)
Пусть \( y = x^2 - 5x \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 + 10y + 24 = 0 \)
\( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \)
\( y_1 = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-10 + 2}{2} = -4 \)
\( y_2 = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-10 - 2}{2} = -6 \)
Теперь вернёмся к замене:
1) \( x^2 - 5x = -4 \) \( \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \)
\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \)
\( x_1 = \frac{5+3}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{5-3}{2} = 1 \)
2) \( x^2 - 5x = -6 \) \( \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
\( x_3 = \frac{5+1}{2} = 3 \), \( x_4 = \frac{5-1}{2} = 2 \)
Ответ: \( x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 \)

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ