САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 14 Квадратные неравенства Вариант 1 1. Из предложенных выражений выберите квадратные нера- венства: a)-x²+3x-2 < 0; в) 4x² - 9 ≤ x + 7; 6) x + 5 > 2x – 3; г) х² – 8x = 16. 2. Выберите неравенство, решением которого является число 3: a) x² - 4x > 0; 6) x²-x > 0. 3. Решите неравенства: a) 2x²-6x+5 < 0; 6) 4x² - 4x + 1 ≤ 0. 4. При каких значениях переменной выражение (x-2)² 2x+6 имеет смысл? V 2 3 5. При каких значениях в уравнение bx² - (3b + 1)x + b = 0 имеет два различных действительных корня? Вариант 2 1. Из предложенных выражений выберите квадратные нера- венства: a) x²-2x-4 > 0; в) 3x²-5x-3; 6) 2x-3 <x-4; г) х² + 4x = 12. 2. Выберите неравенство, решением которого является число 2: a) x²-x>0; 6) x²-3x > 0. 3. Решите нера-

Ответ: Решения ниже

Вариант 1

1. Квадратные неравенства:
• a) \[ -x^2 + 3x - 2 < 0 \]
• в) \[ 4x^2 - 9 \le x + 7 \]
2. Выберите неравенство, решением которого является число 3:
   1. \[ x^2 - 4x > 0 \] Подставим x = 3: \[ 3^2 - 4 \cdot 3 > 0 \] \[ 9 - 12 > 0 \] \[ -3 > 0 \] - неверно.
   2. \[ x^2 - x > 0 \] Подставим x = 3: \[ 3^2 - 3 > 0 \] \[ 9 - 3 > 0 \] \[ 6 > 0 \] - верно.

   Подходит вариант б) x² - x > 0

3. Решите неравенства:
   1. \[ 2x^2 - 6x + 5 < 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4 \] Так как D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при x² (2) > 0, парабола направлена вверх, и график функции всегда выше оси x. Следовательно, неравенство не имеет решений.

      Ответ: Нет решений

   2. \[ 4x^2 - 4x + 1 \le 0 \] \[ (2x - 1)^2 \le 0 \] Квадрат числа может быть только неотрицательным, значит, неравенство выполняется только тогда, когда \[ (2x - 1)^2 = 0 \] \[ 2x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

      Ответ: x = 0.5

4. При каких значениях переменной выражение имеет смысл? \[ \sqrt{\frac{(x-2)^2}{2}} - \frac{2x+6}{3} \] Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ \frac{(x-2)^2}{2} \ge 0 \] Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому \[ (x-2)^2 \ge 0 \] при любом x. Следовательно, x может быть любым числом.

   Ответ: x - любое число

5. При каких значениях b уравнение \[ bx^2 - (3b + 1)x + b = 0 \] имеет два различных действительных корня? Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, дискриминант должен быть больше нуля: \[ D = (3b + 1)^2 - 4 \cdot b \cdot b > 0 \] \[ 9b^2 + 6b + 1 - 4b^2 > 0 \] \[ 5b^2 + 6b + 1 > 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \[ 5b^2 + 6b + 1 = 0 \] \[ D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \] \[ b_1 = \frac{-6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2 \] \[ b_2 = \frac{-6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 \] Тогда неравенство выполняется при b < -1 или b > -0.2. Также необходимо учесть, что при b = 0 уравнение становится линейным, поэтому b ≠ 0.

   Ответ: b < -1 или -0.2 < b < 0 или b > 0

Вариант 2

1. Квадратные неравенства:
• a) \[ x^2 - 2x - 4 > 0 \]
• в) \[ 3x^2 - 5 \ge x - 3 \]
2. Выберите неравенство, решением которого является число 2:
   1. \[ x^2 - x > 0 \] Подставим x = 2: \[ 2^2 - 2 > 0 \] \[ 4 - 2 > 0 \] \[ 2 > 0 \] - верно.
   2. \[ x^2 - 3x > 0 \] Подставим x = 2: \[ 2^2 - 3 \cdot 2 > 0 \] \[ 4 - 6 > 0 \] \[ -2 > 0 \] - неверно.

   Подходит вариант а) x² - x > 0

3. Решите неравенства:

Ответ: Решения выше