Самостоятельная работа № 7. Решение уравнений, приводимых к квадратным Вариант 1 1. Решите биквадратное уравнение. 1) y⁴ + 9y² + 8 = 0; 2) x⁴ - 2x² + 15 = 0. 2. Решите уравнение, используя разложение на множи тели. 1) x³ - 8x = 0; 2) y⁴ - 3y² = y - 3. 3. При каких значениях b уравнение x² - bx - 8 = 0 не имеет корней?

Ответ: смотри решение

Вариант 1

1. Решите биквадратное уравнение.

1) y⁴ + 9y² + 8 = 0

Введем замену t = y², тогда уравнение примет вид:

t² + 9t + 8 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 9² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49

t₁ = (-9 + √49) / 2 = (-9 + 7) / 2 = -1

t₂ = (-9 - √49) / 2 = (-9 - 7) / 2 = -8

Возвращаемся к замене:

y² = -1 (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным)

y² = -8 (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным)

Ответ: нет решений

2) x⁴ - 2x² + 15 = 0

Введем замену t = x², тогда уравнение примет вид:

t² - 2t + 15 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * 15 = 4 - 60 = -56

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных решений

2. Решите уравнение, используя разложение на множители.

1) x³ - 8x = 0

Вынесем x за скобки:

x(x² - 8) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x = 0 или x² - 8 = 0

x = 0 или x² = 8

x = 0 или x = ±√8

x = 0 или x = ±2√2

Ответ: x = 0, x = 2√2, x = -2√2

2) y⁴ - 3y² = y - 3

Перенесем все в одну сторону:

y⁴ - 3y² - y + 3 = 0

Сгруппируем члены:

(y⁴ - 3y²) - (y - 3) = 0

Вынесем общий множитель:

y²(y² - 3) - 1(y - 3) = 0

(y² - 1)(y² - 3) = 0

Используем разность квадратов:

(y - 1)(y + 1)(y² - 3) = 0

y - 1 = 0 или y + 1 = 0 или y² - 3 = 0

y = 1 или y = -1 или y² = 3

y = 1 или y = -1 или y = ±√3

Ответ: y = 1, y = -1, y = √3, y = -√3

3. При каких значениях b уравнение x² - bx - 8 = 0 не имеет корней?

Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:

D = (-b)² - 4 * 1 * (-8) = b² + 32

b² + 32 < 0

b² < -32

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то не существует таких значений b, при которых b² < -32.

Ответ: таких значений b не существует

Ответ: смотри решение