Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Самостоятельная работа № 8 «Перпендикулярность в пространстве» 1 балл 1 задание. Вариант 1 1. На рисунке изображена трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и BC. Через вершину В проведена прямая BF, которая перпендикулярна прямой ВС. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости ABF. 2. Через вершину А равностороннего В треугольника АВС проведена прямая DA, перпендикулярная плоскости треугольника. Вычислите расстояние от точки В до прямой ВС, если AD = 3 см, АВ = 6 см. 3. Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости АВС. 4. Через вершину D прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр DE. Точка Е удалена от стороны АВ на 10 см, а от стороны ВС — на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8 см. 5. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 30 см и 17 см соответственно. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 2√5 см от каждой стороны треугольника. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. Вариант 2 1. На рисунке изображён равнобедренный В треугольник АВС (АВ = ВС), точка М — середина стороны АС. Через точку М проведена прямая МО, перпендикулярная прямой ВМ. Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости АОС. 2. Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярная плоскости квадрата. Вычислите расстояние от точки М до прямой BD, если МС = 1 CD = 4 см. прильного
Ответ:
Ответ: Решения ниже
Краткое пояснение: Решаем задачи по геометрии, применяя знания о перпендикулярности в пространстве и свойства геометрических фигур.
Вариант 1
1. Доказательство перпендикулярности прямой и плоскости:
- Дано: трапеция ABCD, AB ⊥ AD, AB ⊥ BC, BF ⊥ BC.
- Доказать: BC ⊥ плоскости ABF.
- Логика такая: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости.
- BC ⊥ AB (по условию) и BC ⊥ BF (по условию). AB и BF пересекаются в точке B и лежат в плоскости ABF.
- Вывод: BC ⊥ плоскости ABF.
2. Вычисление расстояния в равностороннем треугольнике:
- Дано: ΔABC равносторонний, DA ⊥ плоскости ABC, AD = 3 см, AB = 6 см.
- Найти: расстояние от точки D до прямой BC.
- Пусть M - середина BC, тогда AM - медиана и высота в равностороннем ΔABC.
- AM = AB * sin(60°) = 6 * √3/2 = 3√3 см.
- ΔDMA - прямоугольный, DM = √(AD² + AM²) = √(3² + (3√3)²) = √(9 + 27) = √36 = 6 см.
- Ответ: расстояние от точки D до прямой BC равно 6 см.
3. Расстояние от точки до плоскости:
- Дано: точка D на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного ΔABC, сторона AB = 6 см.
- Найти: расстояние от точки D до плоскости ABC.
- Пусть O - центр ΔABC (точка пересечения медиан). DO ⊥ плоскости ABC.
- AO = (2/3) * AM = (2/3) * 3√3 = 2√3 см.
- ΔADO - прямоугольный, DO = √(AD² - AO²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см.
- Ответ: расстояние от точки D до плоскости ABC равно 2 см.
4. Диагональ прямоугольника:
- Дано: прямоугольник ABCD, DE ⊥ плоскости ABCD, DE = 8 см, E удалена от AB на 10 см, от BC на 17 см.
- Найти: диагональ AC.
- Пусть EK ⊥ AB, EL ⊥ BC. Тогда EK = 10 см, EL = 17 см.
- ΔDEK - прямоугольный, DK = √(DE² + EK²) = √(8² + 10²) = √164 см.
- ΔDEL - прямоугольный, DL = √(DE² + EL²) = √(8² + 17²) = √353 см.
- DK = BC = √164 см, DL = AB = √353 см.
- AC = √(AB² + BC²) = √(353 + 164) = √517 см.
- Ответ: диагональ AC равна √517 см.
5. Расстояние от точки до плоскости треугольника:
- Дано: равнобедренный ΔABC, основание AB = 30 см, боковая сторона AC = 17 см, точка на расстоянии 2√5 см от каждой стороны.
- Найти: расстояние от точки до плоскости треугольника.
- Пусть r - радиус вписанной окружности, h - искомое расстояние.
- Площадь ΔABC можно найти по формуле Герона: p = (30 + 17 + 17)/2 = 32 см, S = √(32 * 2 * 15 * 15) = 120 см².
- r = S/p = 120/32 = 15/4 см.
- h = √( (2√5)² - r² ) = √(20 - (15/4)²) = √(20 - 225/16) = √( (320-225)/16 ) = √(95/16) = (√95)/4 см.
- Ответ: расстояние от точки до плоскости треугольника равно (√95)/4 см.
Вариант 2
1. Доказать перпендикулярность прямой и плоскости:
- Дано: ΔABC равнобедренный (AB = BC), M - середина AC, MO ⊥ BM.
- Доказать: BM ⊥ плоскости AOC.
- Логика такая: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
- BM ⊥ AC (т.к. ΔABC равнобедренный и BM - медиана), BM ⊥ MO (по условию). AC и MO пересекаются в точке O и лежат в плоскости AOC.
- Вывод: BM ⊥ плоскости AOC.
2. Расстояние от точки до прямой:
- Дано: квадрат ABCD, C - вершина, перпендикулярная плоскости квадрата, MC = 1 см, CD = 4 см.
- Найти: расстояние от точки M до прямой BD.
- Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда O - середина BD.
- OC = √(MC² + OD²) = √(1² + (CD/√2)²) = √(1 + (4/√2)²) = √(1 + 8) = √9 = 3 см.
- Расстояние от M до BD равно OC = 3 см.
- Ответ: расстояние от точки M до прямой BD равно 3 см.
Ответ: Решения выше
Ты - «Цифровой атлет»! Achievement unlocked: Домашка закрыта. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро
