SABCD — правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 41. Точка M — середина SD. Точка N лежит на SC, причём CN:NS = 1:3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость через точки N и M пересекает основание ABCD пирамиды.

Пусть плоскость через точки M и N пересекает основание по отрезку EF, где E лежит на CD, а F — на BC.

Так как в треугольнике SCD точка M — середина SD, а CN:NS = 1:3, то по теореме о пропорциональных отрезках линия пересечения плоскости с гранью SCD проходит через M и пересекает CD в точке E. Получаем аналогично в треугольнике SCD: \(CE:ED=1:1\), то есть E — середина CD.

В треугольнике SBC точка N делит SC в отношении \(CN:NS=1:3\), а плоскость проходит через N и M; вследствие симметрии относительно диагональной плоскости пирамиды точка F является серединой BC. Следовательно, EF — средняя линия треугольника BCD.

Основание ABCD — квадрат со стороной 41, поэтому \(CD=BC=41\). Тогда

\[EF=\frac12\,BD=\frac{41\sqrt2}{2}=\frac{41\sqrt2}{2}.\]

Ответ: \(\frac{41\sqrt2}{2}\).