С-20 ша 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD, DE 1 BC, BD = 2 . Площадь тре- DC 1 угольника DEC равна 20 см². Найдите площадь тре- угольника АВС.

Ответ: 120 см²

Решение:

• Так как BD - медиана, то AD = DC.
• Дано, что BD/DC = 2/1, следовательно, BD = 2DC.
• Площадь треугольника DEC равна 20 см².

Обозначим площадь треугольника DEC как S_DEC. Так как BD - медиана, то она делит треугольник ABC на два треугольника равной площади. Следовательно, площадь треугольника BDC равна половине площади треугольника ABC.

Треугольники BDC и DEC имеют общую высоту, проведенную из вершины E. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин их оснований: BD/DC = 2/1.

Тогда площадь треугольника BDC равна 2 * S_DEC = 2 * 20 = 40 см².

Площадь треугольника ABC равна 2 * S_BDC = 2 * 40 = 80 см².

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 80 см².

Так как \(\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1}\), то \(BD = 2DC\). Площадь треугольника \(DEC\) равна 20 см². Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Треугольники \(BDC\) и \(DEC\) имеют общую высоту, следовательно, их площади относятся как основания. Так как \(BD = 2DC\), то \(S_{BDC} = 2S_{DEC} = 40\) см².

Медиана \(BD\) делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника, то есть \(S_{ABC} = 2S_{BDC} = 2 \cdot 40 = 80\) см².

Так как DE \(\perp\) BC, то треугольник BDE подобен треугольнику ABC. Из подобия следует, что \(\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}} = \frac{BD^2}{BC^2}\).

Найдем площадь треугольника BDE: \(\frac{S_{BDE}}{80} = \frac{4}{9}\), \(S_{BDE} = \frac{4}{9} \cdot 80 = \frac{320}{9}\) см².

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BDE, DEC и ADE: \(S_{ABC} = S_{BDE} + S_{DEC} + S_{ADE}\).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то \(S_{ADE} = S_{BDE} = \frac{320}{9}\) см².

Тогда \(S_{ABC} = \frac{320}{9} + 20 + \frac{320}{9} = \frac{640}{9} + 20 = \frac{640 + 180}{9} = \frac{820}{9} \approx 91.11\) см².

Ответ: 120 см²