С-17. Решение неравенств методом интервалов Вариант 1 1. Решите неравенство: 1) a) (x - 1) (x - 3) > 0; в) (x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0; 2) a) (x + 3) (x – 8) (x - 20) > 0; B) (x² - 1)(x + 5) ≥ 0;

1. Решите неравенство:

1) a) $$(x - 1) (x - 3) > 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции: $$x - 1 = 0$$ или $$x - 3 = 0$$. Отсюда $$x = 1$$ или $$x = 3$$. Отметим точки 1 и 3 на числовой прямой. Они разбивают ее на три интервала: $$(-\infty; 1)$$, $$(1; 3)$$, $$(3; +\infty)$$. Определим знак выражения $$(x - 1) (x - 3)$$ на каждом из интервалов.

На интервале $$(-\infty; 1)$$ возьмем $$x = 0$$, тогда $$(0 - 1) (0 - 3) = (-1) (-3) = 3 > 0$$. На интервале $$(1; 3)$$ возьмем $$x = 2$$, тогда $$(2 - 1) (2 - 3) = (1) (-1) = -1 < 0$$. На интервале $$(3; +\infty)$$ возьмем $$x = 4$$, тогда $$(4 - 1) (4 - 3) = (3) (1) = 3 > 0$$.

Итак, решением неравенства $$(x - 1) (x - 3) > 0$$ являются интервалы $$(-\infty; 1)$$ и $$(3; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$$

в) $$(x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции: $$x + 9 = 0$$ или $$x + 1 = 0$$ или $$x - 11 = 0$$. Отсюда $$x = -9$$ или $$x = -1$$ или $$x = 11$$. Отметим точки -9, -1 и 11 на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала: $$(-\infty; -9)$$, $$(-9; -1)$$, $$(-1; 11)$$, $$(11; +\infty)$$. Определим знак выражения $$(x + 9) (x + 1) (x – 11)$$ на каждом из интервалов.

На интервале $$(-\infty; -9)$$ возьмем $$x = -10$$, тогда $$(-10 + 9) (-10 + 1) (-10 – 11) = (-1) (-9) (-21) = -189 < 0$$. На интервале $$(-9; -1)$$ возьмем $$x = -2$$, тогда $$(-2 + 9) (-2 + 1) (-2 – 11) = (7) (-1) (-13) = 91 > 0$$. На интервале $$(-1; 11)$$ возьмем $$x = 0$$, тогда $$(0 + 9) (0 + 1) (0 – 11) = (9) (1) (-11) = -99 < 0$$. На интервале $$(11; +\infty)$$ возьмем $$x = 12$$, тогда $$(12 + 9) (12 + 1) (12 – 11) = (21) (13) (1) = 273 > 0$$.

Итак, решением неравенства $$(x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0$$ являются интервалы $$(-9; -1)$$ и $$(11; +\infty)$$.

Ответ: $$(-9; -1) \cup (11; +\infty)$$

2) a) $$(x + 3) (x – 8) (x - 20) > 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции: $$x + 3 = 0$$ или $$x – 8 = 0$$ или $$x - 20 = 0$$. Отсюда $$x = -3$$ или $$x = 8$$ или $$x = 20$$. Отметим точки -3, 8 и 20 на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала: $$(-\infty; -3)$$, $$(-3; 8)$$, $$(8; 20)$$, $$(20; +\infty)$$. Определим знак выражения $$(x + 3) (x – 8) (x - 20)$$ на каждом из интервалов.

На интервале $$(-\infty; -3)$$ возьмем $$x = -4$$, тогда $$(-4 + 3) (-4 – 8) (-4 - 20) = (-1) (-12) (-24) = -288 < 0$$. На интервале $$(-3; 8)$$ возьмем $$x = 0$$, тогда $$(0 + 3) (0 – 8) (0 - 20) = (3) (-8) (-20) = 480 > 0$$. На интервале $$(8; 20)$$ возьмем $$x = 10$$, тогда $$(10 + 3) (10 – 8) (10 - 20) = (13) (2) (-10) = -260 < 0$$. На интервале $$(20; +\infty)$$ возьмем $$x = 21$$, тогда $$(21 + 3) (21 – 8) (21 - 20) = (24) (13) (1) = 312 > 0$$.

Итак, решением неравенства $$(x + 3) (x – 8) (x - 20) > 0$$ являются интервалы $$(-3; 8)$$ и $$(20; +\infty)$$.

Ответ: $$(-3; 8) \cup (20; +\infty)$$

B) $$(x² - 1)(x + 5) ≥ 0$$

Решим неравенство методом интервалов. Разложим выражение на множители: $$(x - 1)(x + 1)(x + 5) ≥ 0$$. Найдем нули функции: $$x - 1 = 0$$ или $$x + 1 = 0$$ или $$x + 5 = 0$$. Отсюда $$x = 1$$ или $$x = -1$$ или $$x = -5$$. Отметим точки -5, -1 и 1 на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала: $$(-\infty; -5]$$, $$[-5; -1]$$, $$[-1; 1]$$, $$[1; +\infty)$$. Определим знак выражения $$(x - 1)(x + 1)(x + 5)$$ на каждом из интервалов.

На интервале $$(-\infty; -5)$$ возьмем $$x = -6$$, тогда $$(-6 - 1) (-6 + 1) (-6 + 5) = (-7) (-5) (-1) = -35 < 0$$. На интервале $$(-5; -1)$$ возьмем $$x = -2$$, тогда $$(-2 - 1) (-2 + 1) (-2 + 5) = (-3) (-1) (3) = 9 > 0$$. На интервале $$(-1; 1)$$ возьмем $$x = 0$$, тогда $$(0 - 1) (0 + 1) (0 + 5) = (-1) (1) (5) = -5 < 0$$. На интервале $$(1; +\infty)$$ возьмем $$x = 2$$, тогда $$(2 - 1) (2 + 1) (2 + 5) = (1) (3) (7) = 21 > 0$$.

Итак, решением неравенства $$(x - 1)(x + 1)(x + 5) ≥ 0$$ являются интервалы $$[-5; -1]$$ и $$[1; +\infty)$$.

Ответ: $$[-5; -1] \cup [1; +\infty)$$