С-30. Решение дробных рациональных уравнений 1. Решите уравнение: 1) a) \(\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x\); 2) a) \(\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}\); B) \(\frac{x^2+3x}{x-4} = \frac{x^2-x}{4-x}\); 3) a) \(\frac{x+2}{4x+1} = \frac{x}{3x-8}\); B) \(\frac{x-3}{4x^2-11x-3} = \frac{x+1}{0}\); 4) a) \(\frac{3-x}{2y^2+5y+2} = 0\); B) \(\frac{2y^2 + 5y + 2}{y^2-4} = 1\); д) \(\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\);

1) a) Решим уравнение:

\[\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x\]

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателей:

\[4(x^2 + 3x) + (x - 3x^2) = 16x\]

Раскроем скобки:

\[4x^2 + 12x + x - 3x^2 = 16x\]

Приведем подобные слагаемые:

\[x^2 + 13x = 16x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 3x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 3) = 0\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 3\]

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = 3\]

2) a) Решим уравнение:

\[\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}\]

Умножим обе части уравнения на (3 - x), при условии, что x ≠ 3:

\[x^2 = 2x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 2x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 2) = 0\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 2\]

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = 2\]

B) Решим уравнение:

\[\frac{x^2+3x}{x-4} = \frac{x^2-x}{4-x}\]

Заметим, что (4 - x) = -(x - 4), тогда:

\[\frac{x^2+3x}{x-4} = -\frac{x^2-x}{x-4}\]

Умножим обе части уравнения на (x - 4), при условии, что x ≠ 4:

\[x^2 + 3x = -(x^2 - x)\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + 3x = -x^2 + x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2x^2 + 2x = 0\]

Вынесем 2x за скобки:

\[2x(x + 1) = 0\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = -1\]

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = -1\]

3) a) Решим уравнение:

\[\frac{x+2}{4x+1} = \frac{x}{3x-8}\]

Умножим крест на крест:

\[(x+2)(3x-8) = x(4x+1)\]

Раскроем скобки:

\[3x^2 - 8x + 6x - 16 = 4x^2 + x\] \[3x^2 - 2x - 16 = 4x^2 + x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + 3x + 16 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 9 - 64 = -55\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет действительных корней

B) Решим уравнение:

\[\frac{x-3}{4x^2-11x-3} = \frac{x+1}{0}\]

Так как знаменатель второй дроби равен нулю, то уравнение не имеет смысла.

Ответ: Нет решения

4) a) Решим уравнение:

\[\frac{3-x}{2y^2+5y+2} = 0\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[3 - x = 0\] \[x = 3\]

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[2y^2 + 5y + 2 ≠ 0\]

Решим квадратное уравнение для знаменателя:

\[2y^2 + 5y + 2 = 0\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\] \[y_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2\]

Таким образом, x = 3, при y ≠ -1/2 и y ≠ -2

Ответ: x = 3, при y ≠ -1/2 и y ≠ -2

B) Решим уравнение:

\[\frac{2y^2 + 5y + 2}{y^2-4} = 1\]

Умножим обе части уравнения на (y² - 4), при условии, что y ≠ ±2:

\[2y^2 + 5y + 2 = y^2 - 4\]

Перенесем все в одну сторону:

\[y^2 + 5y + 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\] \[y_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\]

Так как y ≠ ±2, то y = -2 не является решением.

Ответ: y = -3

д) Решим уравнение:

\[\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\]

Умножим обе части уравнения на (1 + 3x), при условии, что x ≠ -1/3:

\[9x + 3 = (x - 7)(1 + 3x)\]

Раскроем скобки:

\[9x + 3 = x + 3x^2 - 7 - 21x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[3x^2 - 29x - 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961 = 31^2\] \[x_1 = \frac{29 + 31}{6} = \frac{60}{6} = 10, \quad x_2 = \frac{29 - 31}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Так как x ≠ -1/3, то x = -1/3 не является решением.

Ответ: x = 10

Digital Solver

Минус 20 минут на алгебру. Потрать их на что-нибудь интересное!

Не будь ботом - поделись с друзьями решением, пусть тоже успеют отдохнуть!