С помощью рисунка найдите ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник ABCD. На рисунке указаны:

• \( \angle DAC = 43^{\circ} \)
• \( \angle ACD = 54^{\circ} \)
• Боковые стороны AB и BC имеют одинаковую длину (обозначено двойными штрихами).
• Боковые стороны AD и CD имеют одинаковую длину (обозначено двойными штрихами).

Так как боковые стороны попарно равны, четырёхугольник ABCD является дельтоидом. Диагональ AC делит дельтоид на два треугольника: \( \triangle ADC \) и \( \triangle ABC \).

Вспомним свойство дельтоида: диагональ, соединяющая вершины углов между равными сторонами, является биссектрисой этих углов и делит другую диагональ пополам. В нашем случае AC является такой диагональю, а BD — осью симметрии.

Однако, нам дана диагональ AC, которая является осью симметрии. В дельтоиде диагонали перпендикулярны, а одна из них (ось симметрии) делит другую пополам.

Углы при основании AC для треугольников \( \triangle ADC \) и \( \triangle ABC \) равны: \( \angle BAC = \angle DAC \) и \( \angle BCA = \angle DCA \).

Но судя по рисунку, \( \angle DAC = 43^{\circ} \) и \( \angle ACD = 54^{\circ} \). Это означает, что AC не является осью симметрии. AC — это диагональ.

В дельтоиде равны углы при вершинах, между сторонами разной длины. Значит, \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).

Диагональ AC делит дельтоид на два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ACD = 180^{\circ} - 43^{\circ} - 54^{\circ} = 180^{\circ} - 97^{\circ} = 83^{\circ} \).

Так как \( \angle ABC = \angle ADC \), то \( \angle ABC = 83^{\circ} \).

Ответ: 83.