С-30. Решение дробных рациональных уравнений 1. Решите уравнение: 1) a) (3x - x²) / 2 + (2x² - x) / 6 = x; б) (3x + 1) / 4 - (7x - x²) / 10 = (x² - 1) / 8;

Решение:

1. Решение дробных рациональных уравнений:

а) \(\frac{3x - x^2}{2} + \frac{2x^2 - x}{6} = x\)

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель — 6:

\[ 3(3x - x^2) + 1(2x^2 - x) = 6x \]

\[ 9x - 3x^2 + 2x^2 - x = 6x \]

\[ -x^2 + 8x = 6x \]

\[ -x^2 + 8x - 6x = 0 \]

\[ -x^2 + 2x = 0 \]

\[ x^2 - 2x = 0 \]

\[ x(x - 2) = 0 \]

Корни уравнения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \).

б) \(\frac{3x + 1}{4} - \frac{7x - x^2}{10} = \frac{x^2 - 1}{8}\)

Общий знаменатель для 4, 10, 8 — это 40.

Умножим обе части уравнения на 40:

\[ 10(3x + 1) - 4(7x - x^2) = 5(x^2 - 1) \]

\[ 30x + 10 - 28x + 4x^2 = 5x^2 - 5 \]

\[ 4x^2 + 2x + 10 = 5x^2 - 5 \]

\[ 5x^2 - 4x^2 - 2x - 5 - 10 = 0 \]

\[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Корни уравнения: \( x_1 = 5 \), \( x_2 = -3 \).

Ответ: 1. а) \( x=0, x=2 \); б) \( x=5, x=-3 \).