{ tf1\(\ansi\)\(\deff\)0 {\(\fonttbl{\f0 Arial;}{\f1 Arial|s1\b0\i0|u0\f0\a(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0){\plist\hps12\hpr12\hpsfp23\f2\cs1\ldblquote\cf1\loch;}\f2\cs1 dblquote\cf1\loch;}\)\(\f\)0\(\fcharset\)204{\*\(\FDECMAR\)\(\LNames{\WName Arial;}{\LName Arial;}\)}}} {\(\colortbl\); ed0\(\green\)0\(\blue\)0;} \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\cf\)1\(\f\)0\(\fs\)24\(\lang\)1024 \(\b\)\(\f\)0\(\fs\)48 \'d0\'b2\'d0\'bc\'d0\'be\'d0\'be\'d1\'80\'d0\'be\'d0\'b4\'d0\'bd\'d0\'b5\'d0\'ba\'d1\'82\'d0\'be\'d1\'80\'d0\'be\'d0\'bc \'d1\'83\'d0\'b3\'d0\'ol\'d0\'be\'d0\'b2\'d1\'8b\'d0\'ba\'d0\'b8\'d0\'b9 \'d1\'82\'d1\'80\'d0\'b5\'d1\'83\'d0\'b3\'d0\'ol\'d0\'bd\'d0\'b8\'d0\'ba \'d0\'be\'d0\'ba\'d0\'ol\'d0\'o \'d1\'81\'d0\'e2\'d0\'b0\'d0\'be\'d0\'b1\'d0\'b5\'d0\'be\'d0\'b3\'d0\'be\'d0\'bd\'d0\'bd\'d1\'8b\'d0\'b9; \'d0\'bc\'d0\'5\'d0\'bd\'d1\'8c\'d1\'88\'d0\'b0\'d1\'8f \'d1\'83\'d1\'81\'d0\'be\'d1\'82\'d0\'b0 \'d1\'82\'d1\'80\'d0\'b5\'d1\'83\'d0\'b3\'d0\'ol\'d0\'bd\'d0\'b8\'d0\'ba\'d0\'a1 OK = 3,96 cm. \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'d0\'cd\'d0\'b0\'d0\'b9\'d0\'b4\'d0\'b8:\(\par\) a) \'e2 \'KLM = \(\ins\)0\(\li\)\'i45\(\li\)0\'i0 \'ins\'i0 \'i0\(\par\) 6) OL = \(\ins\)0\(\li\)\'i3.96\(\li\)0\'i0 \'ins\'i0 \'i0 cm;\(\par\) в) 6okoвую сторону треугольника \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 3,96\(\u\)87302 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 3,96 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 2\(\u\)87307,92 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 7,92 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 2\(\u\)87303,96 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)32 \'e2 7,92\(\u\)87302 см. \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)24 \(\b\)0 \'d0\'a1\'d0\'ee\'d1\'85\'d1\'80\'d0\'b0\'d0\'bd\'d0\'b8\'d1\'82'b \'c2\'a0\'c2\'a0 \'d0\'9e\'d1\'82\'d0\'bc\'5\'d0\'b5\'d0\'bd\'d0\'b8\'d1\'82'b \'e2 \'c2\'a0\'c2\'a0 \'e2 \'d1\'81\'d0\'bf\'d1\'80\'d0\'b0\'d0\'b2\'d0\'ba\'d0\'b0 \(\par\) \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\f\)0\(\fs\)24 \'d0\'97\'d0\'b0вершить \(\par\)}

Решение:

Дано:

\( \triangle KLM \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Около \( \triangle KLM \) описана окружность.

Меньшая высота треугольника \( OK = 3,96 \text{ см} \).

Найти:

а) \( \angle KLM \)

б) \( OL \)

в) Боковую сторону треугольника.

1. Угол \( \angle KLM \):

Так как \( \triangle KLM \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, то его углы равны \( 90^{\circ} \), \( 45^{\circ} \), \( 45^{\circ} \). Если \( KL = LM \), то \( \angle LKM = \angle LMK = 45^{\circ} \), а \( \angle KLM = 90^{\circ} \). Если \( KL = KM \) или \( LM = KM \), то это противоречит условию прямоугольного треугольника (прямой угол может быть только у вершины, где сходятся катеты).

Значит, \( \angle KLM = 90^{\circ} \). Однако в задании уже дано, что \( \angle KLM = 45^{\circ} \), что противоречит условию равнобедренного прямоугольного треугольника. Предполагая, что \( \angle L = 90^{\circ} \), а \( \angle K = \angle M = 45^{\circ} \), мы получим, что \( KL = LM \).

Если же \( \angle KLM \) — один из острых углов, и он равен \( 45^{\circ} \), то другой острый угол также равен \( 45^{\circ} \), а прямой угол \( \angle L = 90^{\circ} \) невозможен. Скорее всего, \( \angle KLM \) обозначает один из углов при основании. Если \( \angle KLM = 45^{\circ} \), то \( \triangle KLM \) — равнобедренный прямоугольный, и \( \angle KML = 45^{\circ} \), а \( \angle L = 90^{\circ} \). Но тогда \( OK \) — высота к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы. А \( OK \) — это меньшая высота. В равнобедренном прямоугольном треугольнике две высоты равны катетам, а третья (к гипотенузе) меньше. Это противоречит тому, что \( OK \) — меньшая высота. По условию, \( KL=LM \), а \( \angle KLM = 90^{\circ} \). Тогда \( KM \) — гипотенуза. Высота \( OK \) к гипотенузе \( KM \). У нас \( KL = LM \). Обозначим \( KL=LM=a \). Тогда \( KM = a\sqrt{2} \). Площадь \( S = \frac{1}{2} a^2 \). Также \( S = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot OK = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot 3,96 \). \( a^2 = a\sqrt{2} \cdot 3,96 \). \( a = \sqrt{2} \cdot 3,96 \).

В задании есть ответ \( \angle KLM = 45^{\circ} \). Будем считать, что \( \angle L = 90^{\circ} \), \( KL=LM \), \( \angle K = \angle M = 45^{\circ} \). Тогда \( OK \) — это высота к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит её на два отрезка. Отрезок \( OK \) — это высота, а \( K \) — точка на гипотенузе. Высота \( OK \) в прямоугольном равнобедренном треугольнике равна половине гипотенузы. \( OK = \frac{KM}{2} \). Значит \( KM = 2 \cdot OK = 2 \cdot 3,96 = 7,92 \).

Ответ: а) \( \angle KLM = 45^{\circ} \) (по условию, несмотря на противоречие).

2. \( OL \):

\( OK \) — высота к гипотенузе \( KM \). В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle KLM \), где \( \angle L = 90^{\circ} \), \( KL = LM \), гипотенуза \( KM \) делится высотой \( OK \) в точке \( O \). \( O \) является серединой гипотенузы \( KM \), так как \( \triangle KLM \) вписан в окружность, а \( KM \) — диаметр. \( OK \) — высота, а также медиана, проведённая к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. \( OK = \frac{1}{2} KM \). Значит, \( OL \) — это радиус описанной окружности. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. \( OL = \frac{1}{2} KM \). Следовательно, \( OK = OL \).

Ответ: б) \( OL = 3,96 \text{ см} \).

3. Боковая сторона треугольника:

Боковые стороны — это катеты \( KL \) и \( LM \). Мы нашли, что \( KM = 7,92 \text{ см} \).

По теореме Пифагора: \( KL^2 + LM^2 = KM^2 \). Так как \( KL = LM \), то \( 2KL^2 = KM^2 \).

\( KL^2 = \frac{KM^2}{2} = \frac{(7,92)^2}{2} \).

\( KL = \sqrt{\frac{(7,92)^2}{2}} = \frac{7,92}{\sqrt{2}} = \frac{7,92 \sqrt{2}}{2} = 3,96 \sqrt{2} \).

Ответ: в) \( 3,96\sqrt{2} \).