17.8. Розв'яжіть рівняння: 1) 2 cos² 4x - 6 cos² 2x + 1 = 0; 3 2) √3 tg x + 3 = 2 COS X

Решение 1

1) Дано уравнение: \( 2 \cos^2 4x - 6 \cos^2 2x + 1 = 0 \)

Используем формулу двойного угла \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \), следовательно, \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ 2 \cdot \frac{1 + \cos 8x}{2} - 6 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} + 1 = 0 \]

\[ 1 + \cos 8x - 3 - 3 \cos 4x + 1 = 0 \]

\[ \cos 8x - 3 \cos 4x - 1 = 0 \]

Применим формулу двойного угла для косинуса: \( \cos 8x = 2 \cos^2 4x - 1 \). Тогда уравнение принимает вид:

\[ 2 \cos^2 4x - 1 - 3 \cos 4x - 1 = 0 \]

\[ 2 \cos^2 4x - 3 \cos 4x - 2 = 0 \]

Пусть \( t = \cos 4x \), тогда уравнение становится квадратным относительно \( t \):

\[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

\[ t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Так как \( -1 \le \cos 4x \le 1 \), то \( t_1 = 2 \) не подходит. Остается только \( \cos 4x = -\frac{1}{2} \).

\[ 4x = \pm \arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z} \]

Упростим полученный результат.

Сделаем замену \(\cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}\) и \(\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}\). Получим:

\[ 2 \frac{1 + \cos 8x}{2} - 6 \frac{1 + \cos 4x}{2} + 1 = 0 \]

\[ 1 + \cos 8x - 3 - 3\cos 4x + 1 = 0 \]

\[ \cos 8x - 3\cos 4x - 1 = 0 \]

Заменим \(\cos 8x = 2\cos^2 4x - 1\).

\[ 2\cos^2 4x - 1 - 3 \cos 4x - 1 = 0 \]

\[ 2\cos^2 4x - 3 \cos 4x - 2 = 0 \]

Пусть \(t = \cos 4x\), получим:

\[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \]

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

\[ t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \]

\[ t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \]

Значение \(t_1 = 2\) не подходит, так как \(\cos 4x\) не может быть больше 1. Тогда:

\[ \cos 4x = -\frac{1}{2} \]

\[ 4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} n, n \in \mathbb{Z} \]

Решение 2

2) Дано уравнение: \( \sqrt{3} \tan x + 3 = \frac{3}{\cos^2 x} \)

Запишем уравнение в виде:

\[ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + 3 = \frac{3}{\cos^2 x} \]

Умножим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \]

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x - 3 = 0 \]

Заменим \( 3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) \):

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x - 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \]

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \sin^2 x = 0 \]

\[ \sin x (\sqrt{3} \cos x - 3 \sin x) = 0 \]

Тогда либо \( \sin x = 0 \), либо \( \sqrt{3} \cos x - 3 \sin x = 0 \).

Если \( \sin x = 0 \), то \( x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Но при этом \( \cos x = \pm 1 \), и при \( x = \pi n \) выражение \( \tan x \) не имеет смысла, так как \( \cos x \) в знаменателе.

Рассмотрим второй случай:

\[ \sqrt{3} \cos x - 3 \sin x = 0 \]

\[ \sqrt{3} \cos x = 3 \sin x \]

\[ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ x = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

Но у нас в исходном уравнении \(\sqrt{3} \tan x + 3 = \frac{3}{\cos^2 x}\) есть \(\tan x\), следовательно, \(\cos x
eq 0\).

Из полученного результата \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) нужно исключить случаи, когда \(\cos x = 0\). В нашем случае \(\cos x
eq 0\) для любого целого \(n\).

Проверка:

ОДЗ: \(\cos x
eq 0\), то есть \(x
eq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\). Также \(\tan x\) должен существовать, то есть \(x
eq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Преобразуем уравнение:

\[ \sqrt{3} \tan x + 3 = \frac{3}{\cos^2 x} \]

\[ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + 3 = \frac{3}{\cos^2 x} \]

Умножим на \(\cos^2 x\):

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3\cos^2 x = 3 \]

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3\cos^2 x - 3 = 0 \]

Так как \(3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)\):

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x + 3\cos^2 x - 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \]

\[ \sqrt{3} \sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 \]

\[ \sin x (\sqrt{3} \cos x - 3\sin x) = 0 \]

Выражение равно 0, если \(\sin x = 0\) или \(\sqrt{3} \cos x - 3 \sin x = 0\).

Если \(\sin x = 0\), то \(x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\). В этом случае \(\cos x = \pm 1\), и в исходном уравнении \(\tan x\) не существует, так как \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{\pm 1} = 0\). Это не подходит.

Тогда \(\sqrt{3} \cos x - 3 \sin x = 0\):

\[ \sqrt{3} \cos x = 3 \sin x \]

\[ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

Но \(\tan x\) в исходном уравнении должен существовать, значит, \(\cos x
eq 0\). То есть \(x
eq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

В нашем случае \(\cos x
eq 0\) при \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Но запишем ответ в другом виде:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

Математический ниндзя: Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.