5. Рис. 3.12. Доказать: АВ || ABIICD

Для доказательства параллельности прямых AB и CD рассмотрим рисунок 3.12.

На рисунке изображены прямые AB и CD, а также секущая, пересекающая эти прямые. Обозначим точку пересечения секущей с прямой AB как O, а с прямой CD - также O (по рисунку видно, что это одна и та же точка).

Для доказательства параллельности прямых AB и CD необходимо показать, что какие-либо из признаков параллельности прямых выполняются. Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых AB и CD секущей.

1. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

3. Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

На рисунке изображена точка О, являющаяся точкой пересечения отрезков AD и BC. Углы AOD и BOC являются вертикальными, следовательно, углы AOD и BOC равны.

Для доказательства параллельности прямых AB и CD необходимо доказать равенство треугольников AOB и DOC или равенство углов BAO и DCO или ABO и CDO.

Если AO = OC и BO = OD, то треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, углы BAO = DCO и ABO = CDO. В этом случае прямые AB и CD параллельны по равенству накрест лежащих углов.

Таким образом, если AO = OC и BO = OD, то AB || CD.

Ответ: Если AO = OC и BO = OD, то AB || CD.