Решив графически уравнение \( \frac{1}{x-4} = 2^{x-4} \), укажите промежуток, содержащий его корень. Выберите один ответ:

Решение:

Для решения данного уравнения графически, построим графики двух функций: \( y = \frac{1}{x-4} \) и \( y = 2^{x-4} \). Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения этих графиков.

Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{x-4} \). Это гипербола с вертикальной асимптотой \( x = 4 \) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \).

Рассмотрим функцию \( y = 2^{x-4} \). Это экспоненциальная функция, которая всегда положительна и возрастает. Её график проходит через точку \( (4; 1) \).

Проверим предложенные промежутки:

• a. (3;4): В этом промежутке \( x < 4 \). \( x-4 < 0 \). \( \frac{1}{x-4} < 0 \). \( 2^{x-4} > 0 \). Нет пересечения.
• b. (2;3):
• Возьмём \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2-4} = \frac{1}{-2} = -0.5 \). \( y = 2^{2-4} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25 \).
• Возьмём \( x = 3 \): \( y = \frac{1}{3-4} = \frac{1}{-1} = -1 \). \( y = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5 \).
• В этом промежутке \( \frac{1}{x-4} < 0 \), а \( 2^{x-4} > 0 \). Нет пересечения.
• c. (0;1):
• Возьмём \( x = 0 \): \( y = \frac{1}{0-4} = -0.25 \). \( y = 2^{0-4} = 2^{-4} = \frac{1}{16} \).
• Возьмём \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{1-4} = \frac{1}{-3} – 0.33 \). \( y = 2^{1-4} = 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125 \).
• В этом промежутке \( \frac{1}{x-4} < 0 \), а \( 2^{x-4} > 0 \). Нет пересечения.
• d. (4;5):
• Возьмём \( x = 4 \): \( \frac{1}{x-4} \) не определено (вертикальная асимптота). \( y = 2^{4-4} = 2^0 = 1 \).
• Возьмём \( x = 5 \): \( y = \frac{1}{5-4} = 1 \). \( y = 2^{5-4} = 2^1 = 2 \).
• В этом промежутке \( \frac{1}{x-4} > 0 \) и \( 2^{x-4} > 0 \).
• На \( x=5 \) \( \frac{1}{x-4} = 1 \) и \( 2^{x-4} = 2 \). \( 1 < 2 \).
• На приближении к 4 справа, \( \frac{1}{x-4} \) стремится к \( +\infty \), а \( 2^{x-4} \) стремится к \( 2^0 = 1 \).
• Следовательно, график \( y = \frac{1}{x-4} \) пересекает график \( y = 2^{x-4} \) в промежутке \( (4; 5) \).
• e. (1;2):
• Возьмём \( x = 1 \): \( y = \frac{1}{1-4} = -0.33 \). \( y = 2^{1-4} = 2^{-3} = 0.125 \).
• Возьмём \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2-4} = -0.5 \). \( y = 2^{2-4} = 2^{-2} = 0.25 \).
• В этом промежутке \( \frac{1}{x-4} < 0 \), а \( 2^{x-4} > 0 \). Нет пересечения.

Ответ: d. (4;5)