4. Решите задачу. Введите ответ в предложенное ниже поле. В ответе укажите только число без пробелов. Дан треугольник АВС, в котором АВ = 8√2, ∠A = 30°, ∠B = 105°. Определите длину наименьшей стороны этого треугольника. Ответ: Число

Рассмотрим треугольник ABC. Известны сторона AB и два угла: ∠A и ∠B. Найдем угол ∠C:

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 105° = 45°.

Наименьшая сторона лежит напротив наименьшего угла. В треугольнике ABC наименьший угол ∠A = 30°, значит, наименьшая сторона BC лежит напротив него.

Воспользуемся теоремой синусов:$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$.

Выразим сторону BC:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}}$$.

$$BC = \frac{AB \cdot \sin{A}}{\sin{C}}$$.

Подставим известные значения: AB = 8√2, ∠A = 30°, ∠C = 45°.

$$BC = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sin{30°}}{\sin{45°}} = \frac{8\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2} \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 8$$.

Ответ: 8