6. Решите задачу. Катер прошел по течению реки 36 км и против течения 48 км, затратив на весь путь 6 часов. Какова скорость катера в стоячей воде. Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $$v$$ – скорость катера в стоячей воде (км/ч).

Тогда скорость катера по течению реки равна $$(v + 3)$$ км/ч, а против течения – $$(v - 3)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{36}{v + 3}$$ часов, а против течения – $$\frac{48}{v - 3}$$ часов.

Общее время в пути составляет 6 часов, поэтому можем составить уравнение:

$$\frac{36}{v + 3} + \frac{48}{v - 3} = 6$$

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на $$(v + 3)(v - 3)$$: $$36(v - 3) + 48(v + 3) = 6(v^2 - 9)$$
2. Раскроем скобки: $$36v - 108 + 48v + 144 = 6v^2 - 54$$
3. Приведем подобные слагаемые: $$84v + 36 = 6v^2 - 54$$
4. Перенесем все в правую часть: $$6v^2 - 84v - 90 = 0$$
5. Разделим обе части на 6: $$v^2 - 14v - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$

Тогда корни уравнения:

$$v_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = 15$$

$$v_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$ км/ч.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.