Решите задачу составлением уравнения. Одно число в \(2\frac{1}{6}\) раза больше второго. Если же из него вычесть \(\frac{1}{4}\), а ко второму прибавить \(\frac{1}{3}\), то числа будут равными. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть второе число равно \(x\).

Первое число в \(2\frac{1}{6}\) раза больше второго, то есть \(x \cdot 2\frac{1}{6} = x \cdot \frac{13}{6} = \frac{13x}{6}\).

Согласно условию, если из первого числа вычесть \(\frac{1}{4}\), а ко второму прибавить \(\frac{1}{3}\), то числа будут равными. Составим уравнение:

\( \frac{13x}{6} - \frac{1}{4} = x + \frac{1}{3} \)

Решим уравнение:

1. Приведём все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6, 4, 3 — это 12.
2. Умножим обе части уравнения на 12: \( 12 \cdot \frac{13x}{6} - 12 \cdot \frac{1}{4} = 12 \cdot x + 12 \cdot \frac{1}{3} \)
3. Упростим: \( 2 \cdot 13x - 3 = 12x + 4 \)
4. \( 26x - 3 = 12x + 4 \)
5. Перенесём члены с \(x\) в левую часть, а постоянные — в правую: \( 26x - 12x = 4 + 3 \)
6. \( 14x = 7 \)
7. Найдем \(x\): \( x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
8. Второе число равно \( x = \frac{1}{2} \).
9. Первое число равно \( \frac{13x}{6} = \frac{13 \cdot \frac{1}{2}}{6} = \frac{\frac{13}{2}}{6} = \frac{13}{12} \).
10. Проверим:
• Из первого числа вычтем \(\frac{1}{4}\): \( \frac{13}{12} - \frac{1}{4} = \frac{13}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
• Ко второму числу прибавим \(\frac{1}{3}\): \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
11. Числа равны.

Ответ: Первое число — \(\frac{13}{12}\), второе число — \(\frac{1}{2}\).