Решите задачу с помощью системы уравнений. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см больше другого.

Ответ: 12 см и 16 см

Пусть x и y - катеты прямоугольного треугольника, где x > y.

Тогда, согласно условию:

• x = y + 4 (один катет на 4 см больше другого)
• x² + y² = 20² (по теореме Пифагора)

Решаем систему уравнений:

Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе:

\[(y + 4)^2 + y^2 = 20^2\]

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 400\]

\[2y^2 + 8y - 384 = 0\]

Шаг 3: Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 4y - 192 = 0\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784\]

\[y_1 = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

\[y_2 = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2} = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, то y = 12 см.

Шаг 5: Найдем x:

\[x = y + 4 = 12 + 4 = 16\]

Ответ: 12 см и 16 см