Решите задачу, используя данные, представленные на рисунке.

Решение:

1. Равенство радиусов:

OM = ON = OK = OL как радиусы окружности, значит, \( \triangle MON \), \( \triangle KOL \) и \( \triangle LOK \) являются равнобедренными.

2. Равенство треугольников:

\( \triangle MON = \triangle KOL \) по двум сторонам и углу между ними (OM = OK, ON = OL, \( \angle MON = \angle KOL \)).

3. Углы при основании равнобедренных треугольников:

В равнобедренном \( \triangle KOL \) углы при основании равны: \( \angle OLK = \angle OKL \).

Так как \( \triangle MON = \triangle KOL \), то \( \angle OMN = \angle OLM \) и \( \angle ONM = \angle OKL \).

Из равенства \( \triangle MON \) и \( \triangle KOL \), а также того, что \( \angle MON = \angle KOL \), следует, что \( \angle MON = \angle KOL \).

4. Использование данных с рисунка:

На рисунке дан угол \( \angle LOK = 67^{\circ} \).

Так как \( \triangle MON = \triangle KOL \), то \( \angle MON = \angle LOK = 67^{\circ} \).

5. Проверка:

В \( \triangle KOL \): \( \angle LOK = 67^{\circ} \). Так как \( \triangle KOL \) равнобедренный, \( \angle OLK = \angle OKL = \frac{180^{\circ} - 67^{\circ}}{2} = \frac{113^{\circ}}{2} = 56.5^{\circ} \).

Если \( \angle MON = 67^{\circ} \), то и \( \triangle MON \) равнобедренный с углами при основании \( \angle OMN = \angle ONM = 56.5^{\circ} \).

Из равенства треугольников \( \triangle MON \) и \( \triangle KOL \), мы имеем: \( \angle OLK = \angle ONM = 56.5^{\circ} \) и \( \angle LKO = \angle OMN = 56.5^{\circ} \).

Это соответствует условию равенства треугольников.

Итоговая запись:

OM = ON = OK = OL как радиусы окружности, значит \( \triangle MON \) и \( \triangle KOL \) равнобедренные.

\( \triangle MON = \triangle KOL \) по двум сторонам и углу между ними (OM = OK, ON = OL, \( \angle MON = \angle KOL \)).

Следовательно, \( \angle MON = \angle KOL \).

По условию \( \angle LOK = 67^{\circ} \).

Значит, \( \angle MON = 67^{\circ} \).

Ответ: \( \angle MON = 67^{\circ} \).