Решите задачу: Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( AP \) — биссектриса \( \angle A \), \( BK ⊥ AC \), \( BK = 6 \) см. Найти: \( AB \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равносторонний, то \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \).
2. \( AP \) — биссектриса \( \angle A \), значит, \( \angle BAK = \angle CAP = \frac{1}{2} ∠ A = \frac{1}{2} ⋅ 60^\circ = 30^\circ \).
3. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABK \) (так как \( BK ⊥ AC \)).
4. В \( \triangle ABK \) \( ∠ B = 90^\circ - ∠ BAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). (Это также следует из того, что \( ∠ B \) равностороннего треугольника равен \( 60^\circ \)).
5. В прямоугольном \( \triangle ABK \) имеем: \( ∠ BAK = 30^\circ \), \( ∠ BKA = 90^\circ \), \( ∠ ABK = 60^\circ \).
6. Мы знаем, что \( BK = 6 \) см.
7. В прямоугольном треугольнике против угла в \( 30^\circ \) лежит катет, равный половине гипотенузы. \( BK \) лежит против угла \( \angle BAK = 30^\circ \).
8. Следовательно, \( BK = \frac{1}{2} AB \).
9. Выразим \( AB \): \( AB = 2 ⋅ BK \).
10. Подставим значение \( BK \): \( AB = 2 ⋅ 6 \) см \( = 12 \) см.

Ответ: \( AB = 12 \) см.