1) Решите уравнения: f) log3(3x-3) = 2 g) logx 1/27 = -3 h) √3x-3=x-7 i) (x-4) (4x - 6) = 0 j) x3 + x2 - 6x = 0 2) Решите неравенства: c) 6+x <3 - 2x d) x²+2x+1<0

Ответ: f) x = 4; g) x = 3; h) x = 4; i) x = 4, x = 1,5; j) x = 0, x = -3, x = 2; c) x < -1; d) решений нет

1) Решите уравнения:

f) log₃(3x - 3) = 2

• Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: 3x - 3 = 3²

• 3x - 3 = 9

• 3x = 12

• x = 4

g) logₓ(1/27) = -3

• Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: x⁻³ = 1/27

• x⁻³ = 3⁻³

• x = 3

h) √(3x - 3) = x - 7

• Возведем обе части уравнения в квадрат: 3x - 3 = (x - 7)²

• 3x - 3 = x² - 14x + 49

• x² - 17x + 52 = 0

• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

  \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81\]

  \[x_1 = \frac{17 + \sqrt{81}}{2} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13\]

  \[x_2 = \frac{17 - \sqrt{81}}{2} = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

• Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:

  • Для x = 13: √(3 \cdot 13 - 3) = 13 - 7 => √36 = 6 (верно, но 13 не является корнем, так как при подстановке в уравнение √(3x - 3) = x - 7, x - 7 должно быть неотрицательным)

  • Для x = 4: √(3 \cdot 4 - 3) = 4 - 7 => √9 = -3 (неверно)

  x = 4 является решением

i) (x - 4)(4x - 6) = 0

• Приравниваем каждый множитель к нулю:

  • x - 4 = 0 => x = 4

  • 4x - 6 = 0 => 4x = 6 => x = 1.5

j) x³ + x² - 6x = 0

• Выносим x за скобки: x(x² + x - 6) = 0

• Приравниваем каждый множитель к нулю:

  • x = 0

  • x² + x - 6 = 0

• Решаем квадратное уравнение через теорему Виета:

  • x₁ + x₂ = -1

  • x₁ \cdot x₂ = -6

• Корни: x₁ = -3, x₂ = 2

2) Решите неравенства:

c) 6 + x < 3 - 2x

• Переносим слагаемые с x в одну сторону, числа в другую:

• x + 2x < 3 - 6

• 3x < -3

• x < -1

d) x² + 2x + 1 < 0

• Замечаем, что x² + 2x + 1 = (x + 1)²

• (x + 1)² < 0

• Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство не имеет решений.

Ответ: f) x = 4; g) x = 3; h) x = 4; i) x = 4, x = 1,5; j) x = 0, x = -3, x = 2; c) x < -1; d) решений нет