Контрольные задания > Решите уравнения; 12 sinx + V2=0 2) sin²x-2cosx+2=0 3) sinx. cosx + 2 sin²x = cos²x 4)* 3 rin²x-4 sink.cosx+5cos2x =
Вопрос:

Решите уравнения; 12 sinx + V2=0 2) sin²x-2cosx+2=0 3) sinx. cosx + 2 sin²x = cos²x 4)* 3 rin²x-4 sink.cosx+5cos2x =

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Решения тригонометрических уравнений.

Краткое пояснение: Решаем тригонометрические уравнения, используя основные тригонометрические тождества и алгебраические методы.

1) Решим уравнение \(2\sin x + \sqrt{2} = 0\)

  • Выразим \(\sin x\): \[\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
  • Найдем значения \(x\), при которых \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

2) Решим уравнение \(\sin^2 x - 2\cos x + 2 = 0\)

  • Заменим \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\): \[1 - \cos^2 x - 2\cos x + 2 = 0\] \[-\cos^2 x - 2\cos x + 3 = 0\] \[\cos^2 x + 2\cos x - 3 = 0\]
  • Введем замену \(t = \cos x\), тогда уравнение примет вид: \[t^2 + 2t - 3 = 0\]
  • Решим квадратное уравнение: \[D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] \[t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]
  • Вернемся к замене: \[\cos x = 1, \quad \cos x = -3\]
  • Уравнение \(\cos x = 1\) имеет решение: \[x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
  • Уравнение \(\cos x = -3\) не имеет решений, так как \(-1 \le \cos x \le 1\).

Ответ: \[x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

3) Решим уравнение \(\sin x \cdot \cos x + 2\sin^2 x = \cos^2 x\)

  • Перенесем все члены в одну сторону: \[\sin x \cos x + 2\sin^2 x - \cos^2 x = 0\]
  • Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x
    eq 0\)): \[\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\] \[\tan x + 2\tan^2 x - 1 = 0\] \[2\tan^2 x + \tan x - 1 = 0\]
  • Введем замену \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2 + t - 1 = 0\]
  • Решим квадратное уравнение: \[D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9\] \[t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1\]
  • Вернемся к замене: \[\tan x = \frac{1}{2}, \quad \tan x = -1\]
  • Найдем значения \(x\): \[x = \arctan\frac{1}{2} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \arctan\frac{1}{2} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

4) Решим уравнение \(3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 0\)

  • Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x
    eq 0\)): \[3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 5\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\] \[3\tan^2 x - 4\tan x + 5 = 0\]
  • Введем замену \(t = \tan x\), тогда уравнение примет вид: \[3t^2 - 4t + 5 = 0\]
  • Решим квадратное уравнение: \[D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44\]
  • Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

Ответ: Решения тригонометрических уравнений.

Цифровой атлет

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸