Решите уравнения: a) \(\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1;\) б) \(\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22;\) в) \(\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1;\) г) \(\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11.\)

Решение:

a) \(\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1;\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2 \]\[ x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \]\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]\[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

Проверим корни:

При \( x = 3 \): \(\sqrt{3^2 + 2 \cdot 3 + 10} = \sqrt{9 + 6 + 10} = \sqrt{25} = 5\). \(2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5\). \(5 = 5\) — подходит.

При \( x = -1 \): \(\sqrt{(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 10} = \sqrt{1 - 2 + 10} = \sqrt{9} = 3\). \(2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3\). \(3 \neq -3\) — не подходит.

Ответ: x = 3.

б) \(\sqrt{x^2 - 16} = x^2 - 22;\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ x^2 - 16 = (x^2 - 22)^2 \]\[ x^2 - 16 = x^4 - 44x^2 + 484 \]\[ x^4 - 45x^2 + 500 = 0 \]

Сделаем замену \( y = x^2 \):

\[ y^2 - 45y + 500 = 0 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 = 2025 - 2000 = 25 \]\[ y_1 = \frac{45 + \sqrt{25}}{2} = \frac{45 + 5}{2} = 25 \]\[ y_2 = \frac{45 - \sqrt{25}}{2} = \frac{45 - 5}{2} = 20 \]

Теперь вернёмся к \( x \):

\[ x^2 = 25 \implies x = \pm 5 \]\[ x^2 = 20 \implies x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} \]

Проверим корни:

При \( x = 5 \): \(\sqrt{5^2 - 16} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\). \(5^2 - 22 = 25 - 22 = 3\). \(3 = 3\) — подходит.

При \( x = -5 \): \(\sqrt{(-5)^2 - 16} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\). \((-5)^2 - 22 = 25 - 22 = 3\). \(3 = 3\) — подходит.

При \( x = 2\sqrt{5} \): \(\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 16} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2\). \((2\sqrt{5})^2 - 22 = 20 - 22 = -2\). \(2 \neq -2\) — не подходит.

При \( x = -2\sqrt{5} \): \(\sqrt{(-2\sqrt{5})^2 - 16} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2\). \((-2\sqrt{5})^2 - 22 = 20 - 22 = -2\). \(2 \neq -2\) — не подходит.

Ответ: x = ±5.

в) \(\sqrt{17 + 2x - 3x^2} = x + 1;\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 \]\[ 17 + 2x - 3x^2 = x^2 + 2x + 1 \]\[ 4x^2 - 16 = 0 \]\[ x^2 - 4 = 0 \]\[ x^2 = 4 \]\[ x = \pm 2 \]

Проверим корни:

При \( x = 2 \): \(\sqrt{17 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2} = \sqrt{17 + 4 - 12} = \sqrt{9} = 3\). \(2 + 1 = 3\). \(3 = 3\) — подходит.

При \( x = -2 \): \(\sqrt{17 + 2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-2)^2} = \sqrt{17 - 4 - 12} = \sqrt{1} = 1\). \(-2 + 1 = -1\). \(1 \neq -1\) — не подходит.

Ответ: x = 2.

г) \(\sqrt{x^2 + 9} = x^2 - 11.\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ x^2 + 9 = (x^2 - 11)^2 \]\[ x^2 + 9 = x^4 - 22x^2 + 121 \]\[ x^4 - 23x^2 + 112 = 0 \]

Сделаем замену \( y = x^2 \):

\[ y^2 - 23y + 112 = 0 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112 = 529 - 448 = 81 \]\[ y_1 = \frac{23 + \sqrt{81}}{2} = \frac{23 + 9}{2} = 16 \]\[ y_2 = \frac{23 - \sqrt{81}}{2} = \frac{23 - 9}{2} = 7 \]

Теперь вернёмся к \( x \):

\[ x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \]\[ x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} \]

Проверим корни:

При \( x = 4 \): \(\sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\). \(4^2 - 11 = 16 - 11 = 5\). \(5 = 5\) — подходит.

При \( x = -4 \): \(\sqrt{(-4)^2 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\). \((-4)^2 - 11 = 16 - 11 = 5\). \(5 = 5\) — подходит.

При \( x = \sqrt{7} \): \(\sqrt{(\sqrt{7})^2 + 9} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4\). \((\sqrt{7})^2 - 11 = 7 - 11 = -4\). \(4 \neq -4\) — не подходит.

При \( x = -\sqrt{7} \): \(\sqrt{(-\sqrt{7})^2 + 9} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4\). \((-\sqrt{7})^2 - 11 = 7 - 11 = -4\). \(4 \neq -4\) — не подходит.

Ответ: x = ±4.