Решите уравнения: А) 3x⁴ + 18x² + 27 = 0 Б) – x⁴ – x² +6=0 В) - 3x⁴ - 21x² – 36 = 0

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Для решения уравнения 3x⁴ + 18x² + 27 = 0, сделаем замену переменной: пусть y = x². Тогда уравнение примет вид: 3y² + 18y + 27 = 0.
Разделим все члены уравнения на 3: y² + 6y + 9 = 0.
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Выделим полный квадрат: (y + 3)² = 0.
Отсюда y + 3 = 0, следовательно, y = -3.
Теперь вернемся к замене: x² = y, то есть x² = -3.
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных решений.

Для решения уравнения – x⁴ – x² + 6 = 0, сделаем замену переменной: пусть y = x². Тогда уравнение примет вид: -y² - y + 6 = 0.
Умножим обе части уравнения на -1: y² + y - 6 = 0.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25.
Корни уравнения: y₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2.
y₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - 5) / 2 = -6 / 2 = -3.
Теперь вернемся к замене:
Случай 1: x² = y₁ = 2. Отсюда x = ±√2.
Случай 2: x² = y₂ = -3. Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, действительные корни уравнения: x = √2 и x = -√2.

Для решения уравнения - 3x⁴ - 21x² – 36 = 0, сделаем замену переменной: пусть y = x². Тогда уравнение примет вид: -3y² - 21y - 36 = 0.
Разделим все члены уравнения на -3: y² + 7y + 12 = 0.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 7² - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1.
Корни уравнения: y₁ = (-b + √D) / 2a = (-7 + 1) / 2 = -6 / 2 = -3.
y₂ = (-b - √D) / 2a = (-7 - 1) / 2 = -8 / 2 = -4.
Теперь вернемся к замене:
Случай 1: x² = y₁ = -3. Данное уравнение не имеет действительных решений.
Случай 2: x² = y₂ = -4. Данное уравнение не имеет действительных решений.
Таким образом, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: