Решите уравнения: 1) 7x²-5x-2=0 2) 3x²-10 / x-4 = 38 / x-4 3) 6 / x+4 + 2 = 20 / x²+8x+16

Решение:

1) Квадратное уравнение:

1. Определим коэффициенты: \( a = 7 \), \( b = -5 \), \( c = -2 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 \]
3. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} \]

2) Уравнение с дробными выражениями:

1. Перенесём все члены в одну сторону: \[ \frac{3x^2 - 10}{x - 4} - \frac{38}{x - 4} = 0 \]
2. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{3x^2 - 10 - 38}{x - 4} = 0 \] \[ \frac{3x^2 - 48}{x - 4} = 0 \]
3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Числитель: \( 3x^2 - 48 = 0 \) \( 3x^2 = 48 \) \( x^2 = 16 \) \( x = \pm 4 \).
5. Проверим знаменатель: \( x - 4 \neq 0 \), значит \( x \neq 4 \).
6. Корень \( x = -4 \) подходит. Корень \( x = 4 \) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

3) Уравнение с дробными выражениями:

1. Разложим знаменатель второй дроби: \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \).
2. Общий знаменатель: \( (x + 4)^2 \).
3. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{6(x + 4)}{(x + 4)^2} + \frac{2(x + 4)^2}{(x + 4)^2} = \frac{20}{(x + 4)^2} \]
4. Умножим обе части на \( (x + 4)^2 \), при условии, что \( x \neq -4 \): \[ 6(x + 4) + 2(x^2 + 8x + 16) = 20 \]
5. Раскроем скобки: \( 6x + 24 + 2x^2 + 16x + 32 = 20 \)
6. Приведём подобные члены: \( 2x^2 + 22x + 56 = 20 \) \( 2x^2 + 22x + 36 = 0 \)
7. Разделим на 2: \( x^2 + 11x + 18 = 0 \)
8. Найдём дискриминант: \( D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 \)
9. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-11 + 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-11 - 7}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]
10. Оба корня \( x = -2 \) и \( x = -9 \) не равны \( -4 \), поэтому подходят.

Ответ: 1) \( x_1 = 1, x_2 = -2/7 \); 2) \( x = -4 \); 3) \( x_1 = -2, x_2 = -9 \).