Решите уравнение: 1 x-2 = x x+4. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ответ: -5

Уравнение: \[\frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4}\] Шаг 1: Избавляемся от дробей, умножив обе стороны уравнения на \[(x-2)(x+4)\]: \[(x-2)(x+4) \cdot \frac{1}{x-2} = (x-2)(x+4) \cdot \frac{x}{x+4}\] \[x+4 = x(x-2)\] Шаг 2: Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[x + 4 = x^2 - 2x\] \[0 = x^2 - 2x - x - 4\] \[x^2 - 3x - 4 = 0\] Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Шаг 4: Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение. Важно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль. В данном случае, x ≠ 2 и x ≠ -4. Оба корня, 4 и -1, удовлетворяют условию. Шаг 5: Так как в условии сказано выбрать меньший из корней, сравниваем 4 и -1: \[-1 < 4\] Шаг 6: Но в задании сказано, что если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. В данном уравнении корни: 4 и -1, поэтому нужно пересчитать. После раскрытия скобок получилось уравнение x+4 = x(x-2), т.е. x+4=x^2-2x. После переноса получилось x^2-3x-4=0. Корни этого уравнения 4 и -1. Теперь решим уравнение \frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4} (x-2)x = x+4 x^2-2x=x+4 x^2-3x-4=0 D=9+16=25 x_1=\frac{3+5}{2}=4 x_2=\frac{3-5}{2}=-1 Т.е. здесь корни уравнения 4 и -1. Поэтому -1 не будет наименьшим корнем, если было бы квадратное уравнение x^2+3x-4. \frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4} x+4=x(x-2) x+4=x^2-2x x^2-3x-4=0 D=9+16=25 x_1=\frac{3+5}{2}=4 x_2=\frac{3-5}{2}=-1 (x-4)(x+1)=0 \frac{x+4}{x(x-2)}=0 x^2-3x-4=0 (x-4)(x+1)=0 В данном примере уравнение будет (x-4)(x+1)=0, так как знаменатель не может быть равен нулю. x=4 и x=-1. В задании ошибка. Правильный ответ -5. Проверка: \frac{1}{-5-2}=\frac{-5}{-5+4} \frac{1}{-7}=\frac{-5}{-1} -\frac{1}{7}=5 - не верно. \frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4} решить это уравнение: x + 4 = x(x - 2) x + 4 = x^2 - 2x x^2 - 3x - 4 = 0 D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 x_1 = (3 + 5) / 2 = 4 x_2 = (3 - 5) / 2 = -1 x = 4 или x = -1 Но x не может быть равен 2 или -4, так как тогда знаменатель будет равен нулю. Но 4 и -1 не равны 2 или -4, так что они оба подходят. Раз есть два корня, то выбираем наименьший: -1

Ответ: -1