Решите уравнение: Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

\(\frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4}\) Умножаем обе части уравнения на \((x-2)(x+4)\), чтобы избавиться от знаменателей: \((x-2)(x+4) \cdot \frac{1}{x-2} = (x-2)(x+4) \cdot \frac{x}{x+4}\) Сокращаем: \(x+4 = x(x-2)\) Раскрываем скобки: \(x+4 = x^2 - 2x\) Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 - 2x - x - 4 = 0\) \(x^2 - 3x - 4 = 0\) Решаем квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\) Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Проверяем корни на соответствие ОДЗ. ОДЗ: \(x
eq 2\) и \(x
eq -4\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Уравнение имеет два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Меньший корень: \(-1\).

Ответ: -1