2 Решите уравнение: a) x²/x+2 = 3x-2/x+2; б) x² + 4x – 21/x² – 9 = 2/x+3.

Решение:

a) $$\frac{x^2}{x+2} = \frac{3x-2}{x+2}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+2)$$, при условии, что $$x
eq -2$$:

$$x^2 = 3x - 2$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

По теореме Виета, $$x_1 + x_2 = 3$$, $$x_1 \cdot x_2 = 2$$. Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$.

Проверим условие $$x
eq -2$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

б) $$\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 9} = \frac{2}{x+3}$$

Разложим знаменатель в левой части: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$. Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{x^2 + 4x - 21}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x+3}$$

Умножим обе части на $$(x - 3)(x + 3)$$, при условии, что $$x
eq 3$$ и $$x
eq -3$$:

$$x^2 + 4x - 21 = 2(x - 3)$$

$$x^2 + 4x - 21 = 2x - 6$$

$$x^2 + 2x - 15 = 0$$

По теореме Виета, $$x_1 + x_2 = -2$$, $$x_1 \cdot x_2 = -15$$. Корни: $$x_1 = -5$$, $$x_2 = 3$$.

Проверим условия $$x
eq 3$$ и $$x
eq -3$$. Корень $$x_2 = 3$$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним корнем. Корень $$x_1 = -5$$ удовлетворяет условиям.

Ответ: a) $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$; б) $$x = -5$$.