1. Решите уравнение: a) 5x² + 10x = 0 6) 9x²-4=0 B) x²-7x+6=0 г) 2x² + 3x + 4 = 0. 2. Один из корней уравнения х² + ах + 72 = 0 равен 9. Найдите другой корень и коэффициент а. 3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь - 36 см. Найдите длины сторон прямоугольника. 4. Решите уравнение: : a) x-√x-6=0 6) √x²+x−2=2

1. Решите уравнение:

а) \(5x^2 + 10x = 0\)

Вынесем общий множитель \(5x\) за скобки:

\[5x(x + 2) = 0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• \(5x = 0\) или \(x + 2 = 0\)
• \(x = 0\) или \(x = -2\)

Ответ: \(x = 0, -2\)

б) \(9x^2 - 4 = 0\)

Применим формулу разности квадратов:

\[(3x - 2)(3x + 2) = 0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• \(3x - 2 = 0\) или \(3x + 2 = 0\)
• \(3x = 2\) или \(3x = -2\)
• \(x = \frac{2}{3}\) или \(x = -\frac{2}{3}\)

Ответ: \(x = \pm \frac{2}{3}\)

в) \(x^2 - 7x + 6 = 0\)

Используем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = 7, \quad x_1 \cdot x_2 = 6\]

Подбираем корни:

• \(x_1 = 1\)
• \(x_2 = 6\)

Ответ: \(x = 1, 6\)

г) \(2x^2 + 3x + 4 = 0\)

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

2. Один из корней уравнения \(x^2 + ax + 72 = 0\) равен 9. Найдите другой корень и коэффициент \(a\).

Пусть \(x_1 = 9\) - один из корней. Тогда:

\[x_1 \cdot x_2 = 72\]

\[9 \cdot x_2 = 72\]

\[x_2 = \frac{72}{9} = 8\]

Теперь найдем коэффициент \(a\) через теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -a\]

\[9 + 8 = -a\]

\[a = -17\]

Ответ: другой корень \(x_2 = 8\), коэффициент \(a = -17\)

3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь - 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника. Тогда:

\[2(a + b) = 26 \quad \text{и} \quad a \cdot b = 36\]

\[a + b = 13 \quad \text{и} \quad a \cdot b = 36\]

Выразим \(b\) через \(a\):

\[b = 13 - a\]

Подставим в уравнение площади:

\[a(13 - a) = 36\]

\[13a - a^2 = 36\]

\[a^2 - 13a + 36 = 0\]

Решим квадратное уравнение через теорему Виета:

\[a_1 + a_2 = 13, \quad a_1 \cdot a_2 = 36\]

Подбираем корни:

• \(a_1 = 4\)
• \(a_2 = 9\)

Тогда, если \(a = 4\), то \(b = 13 - 4 = 9\), и наоборот.

Ответ: длины сторон прямоугольника 4 см и 9 см

4. Решите уравнение:

а) \(x - \sqrt{x-6} = 0\)

Преобразуем уравнение:

\[x = \sqrt{x-6}\]

Возведем обе части в квадрат:

\[x^2 = x - 6\]

\[x^2 - x + 6 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

б) \(\sqrt{x^2 + x - 2} = 2\)

Возведем обе части в квадрат:

\[x^2 + x - 2 = 4\]

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение через теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -1, \quad x_1 \cdot x_2 = -6\]

Подбираем корни:

• \(x_1 = -3\)
• \(x_2 = 2\)

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

• Для \(x = -3\): \(\sqrt{(-3)^2 + (-3) - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2\) - подходит
• Для \(x = 2\): \(\sqrt{2^2 + 2 - 2} = \sqrt{4 + 2 - 2} = \sqrt{4} = 2\) - подходит

Ответ: \(x = -3, 2\)