1. Решите уравнение: a) 8x² + 2x - 1 = 0; 6) x² - 8x = 0; в) 16х - х³ = 0; г) (x² + 2x)² - (x² + 2x) - 6 = 0. 2. Составьте квадратное уравнение, корни которого рав- ны -5 и 7. 2 3. Разность корней квадратного уравнения х² - 4х + q = 0 равна 6. Найдите q. 4. Выделив квадрат двучлена, найдите наименьшее зна- чение выражения х² + 4x + 6. 5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов меньше квадрата их суммы на 144. 62

Ответ:

1. Решите уравнение:

• a) 8x² + 2x - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 + 6}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 - 6}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}\]

Ответ: \[x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -\frac{1}{2}\]

• б) x² - 8x = 0

Выносим x за скобки:

\[x(x - 8) = 0\]

Получаем два корня:

\[x_1 = 0, x_2 = 8\]

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = 8\]

• в) 16x - x³ = 0

Выносим x за скобки:

\[x(16 - x^2) = 0\]

Получаем:

\[x(4 - x)(4 + x) = 0\]

Корни уравнения:

\[x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4\]

Ответ: \[x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4\]

• г) (x² + 2x)² - (x² + 2x) - 6 = 0

Замена переменной: y = x² + 2x

\[y^2 - y - 6 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

\[y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\]

Возвращаемся к замене:

1) x² + 2x = 3

\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

2) x² + 2x = -2

\[x^2 + 2x + 2 = 0\]

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\]

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ: \[x_1 = 1, x_2 = -3\]

2. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 7.

Используем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

Пусть a = 1, тогда:

\[x_1 + x_2 = -5 + 7 = 2 = -b \Rightarrow b = -2\]

\[x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot 7 = -35 = c\]

Квадратное уравнение:

\[x^2 - 2x - 35 = 0\]

Ответ: \[x^2 - 2x - 35 = 0\]

3. Разность корней квадратного уравнения x² - 4x + q = 0 равна 6. Найдите q.

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. Тогда по теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 4\]

\[x_1 \cdot x_2 = q\]

По условию, разность корней равна 6:

\[x_1 - x_2 = 6\]

Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 - x_2 = 6 \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[2x_1 = 10 \Rightarrow x_1 = 5\]

Тогда:

\[x_2 = 4 - x_1 = 4 - 5 = -1\]

Найдем q:

\[q = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-1) = -5\]

Ответ: \[q = -5\]

4. Выделив квадрат двучлена, найдите наименьшее значение выражения x² + 4x + 6.

Выделяем полный квадрат:

\[x^2 + 4x + 6 = (x^2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)^2 + 2\]

Наименьшее значение выражения достигается, когда (x + 2)² = 0, то есть x = -2.

Наименьшее значение выражения:

\[(x + 2)^2 + 2 = 0 + 2 = 2\]

Ответ: 2

5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов меньше квадрата их суммы на 144.

Пусть x и x + 1 - последовательные натуральные числа.

Сумма их квадратов: x² + (x + 1)²

Квадрат их суммы: (x + x + 1)² = (2x + 1)²

По условию:

\[(2x + 1)^2 - (x^2 + (x + 1)^2) = 144\]

\[4x^2 + 4x + 1 - (x^2 + x^2 + 2x + 1) = 144\]

\[4x^2 + 4x + 1 - 2x^2 - 2x - 1 = 144\]

\[2x^2 + 2x = 144\]

\[x^2 + x - 72 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 - 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Так как x - натуральное число, x = 8.

Тогда последовательные числа: 8 и 9.

Ответ: 8 и 9

Ответ: