3 4+2 +1= Решите уравнение: 2 4 a²+40+4 Banu

Ответ: a = -1

Решение:

Уравнение имеет вид:

\[\frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{a^2+4a+4}\]

Заметим, что знаменатель в правой части можно свернуть как полный квадрат:

\[a^2+4a+4 = (a+2)^2\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[\frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{(a+2)^2}\]

Приведем к общему знаменателю, умножив обе части уравнения на \[(a+2)^2\] (при условии, что a ≠ -2):

\[3(a+2) + (a+2)^2 = 4\]

Раскроем скобки:

\[3a + 6 + a^2 + 4a + 4 = 4\]

Упростим и приведем подобные члены:

\[a^2 + 7a + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\]

Корни:

\[a_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[a_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Так как a ≠ -2, то первый корень не подходит. Следовательно, остается только второй корень:

a = -5

Проверим корень a = -5:

\[\frac{3}{-5+2} + 1 = \frac{3}{-3} + 1 = -1 + 1 = 0\] \[\frac{4}{(-5)^2 + 4 \cdot (-5) + 4} = \frac{4}{25 - 20 + 4} = \frac{4}{9}\]

Что-то пошло не так, надо проверить еще раз:

\[3(a+2) + (a+2)^2 = 4\] \[3a + 6 + a^2 + 4a + 4 = 4\] \[a^2 + 7a + 6 = 0\] \[D = 49 - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25\] \[a_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1\] \[a_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6\]

Проверка a = -1:

\[\frac{3}{-1+2} + 1 = \frac{3}{1} + 1 = 4\] \[\frac{4}{(-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 4} = \frac{4}{1 - 4 + 4} = \frac{4}{1} = 4\]

Проверка a = -6:

\[\frac{3}{-6+2} + 1 = \frac{3}{-4} + 1 = \frac{1}{4}\] \[\frac{4}{(-6)^2 + 4 \cdot (-6) + 4} = \frac{4}{36 - 24 + 4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

То есть a = -1 и a = -6

Ответ: a = -1