Решите уравнение: \(x^{\log_3 x-4}=\frac{1}{27}\).

Область допустимых значений: \(x>0\).

1. Положим \(t=\log_3 x\), тогда \(x=3^t\), а \(\frac{1}{27}=3^{-3}\).
2. Подставим: \((3^t)^{t-4}=3^{-3}\), поэтому \(3^{t(t-4)}=3^{-3}\).
3. Приравняем показатели: \(t^2-4t=-3\), то есть \(t^2-4t+3=0\).
4. Разложим на множители: \((t-1)(t-3)=0\). Отсюда \(t=1\) или \(t=3\).
5. Возвращаясь к \(x\): при \(t=1\), \(x=3\); при \(t=3\), \(x=27\).

Ответ: \(x=3\) или \(x=27\).