Решите уравнение x^8 = (12 - x)^4.

Решение:

Дано уравнение: \( x^8 = (12 - x)^4 \).

Для решения преобразуем уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей:

\( \sqrt{x^8} = \sqrt{(12 - x)^4} \)

\( x^4 = |12 - x|^2 \)

Так как \( |12 - x|^2 = (12 - x)^2 \), получаем:

\( x^4 = (12 - x)^2 \)

Теперь извлечём квадратный корень ещё раз:

\( \sqrt{x^4} = \sqrt{(12 - x)^2} \)

\( x^2 = |12 - x| \)

Это даёт нам два случая:

1. Случай 1: \( 12 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 12 \). В этом случае \( |12 - x| = 12 - x \).

\( x^2 = 12 - x \)

\( x^2 + x - 12 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)

\( \sqrt{D} = 7 \)

\( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Оба корня \( x=3 \) и \( x=-4 \) удовлетворяют условию \( x \le 12 \).

2. Случай 2: \( 12 - x < 0 \), то есть \( x > 12 \). В этом случае \( |12 - x| = -(12 - x) = x - 12 \).

\( x^2 = x - 12 \)

\( x^2 - x + 12 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47 \)

Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: x = 3, x = -4.