Решите уравнение x³(7x² - 12) = 64

Решение:

Раскроем скобки:

\[ x^3(7x^2 - 12) = 64 \]

\[ 7x^5 - 12x^3 = 64 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ 7x^5 - 12x^3 - 64 = 0 \]

Это уравнение является биквадратным, если сделать замену \( y = x^2 \), но в данном случае степень \( x \) нечётная. Попробуем найти целые корни методом подбора. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-64), делёнными на делители старшего коэффициента (7). Делители 64: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32, ±64. Делители 7: ±1, ±7.

Проверим \( x = 2 \):

\[ 7(2)^5 - 12(2)^3 - 64 = 7(32) - 12(8) - 64 = 224 - 96 - 64 = 224 - 160 = 64 \]

Значит, \( x = 2 \) является корнем уравнения. Разделим многочлен \( 7x^5 - 12x^3 - 64 \) на \( (x - 2) \).

С помощью схемы Горнера или деления многочленов в столбик, получаем:

\[ (x - 2)(7x^4 + 14x^3 + 16x^2 + 20x + 32) = 0 \]

Теперь рассмотрим уравнение \( 7x^4 + 14x^3 + 16x^2 + 20x + 32 = 0 \).

Проверим, имеет ли оно действительные корни. Для \( x > 0 \), все члены положительны, поэтому действительных корней нет. Для \( x < 0 \) рассмотрим два случая:

Если \( x = -2 \):

\[ 7(-2)^4 + 14(-2)^3 + 16(-2)^2 + 20(-2) + 32 = 7(16) + 14(-8) + 16(4) - 40 + 32 = 112 - 112 + 64 - 40 + 32 = 64 \]

Значит, \( x = -2 \) является корнем уравнения.

Разделим \( 7x^4 + 14x^3 + 16x^2 + 20x + 32 \) на \( (x + 2) \):

\[ (x + 2)(7x^3 - 14x^2 + 44x - 32) = 0 \]

Теперь рассмотрим уравнение \( 7x^3 - 14x^2 + 44x - 32 = 0 \).

Проверим \( x = \frac{4}{7} \):

\[ 7\left(\frac{4}{7}\right)^3 - 14\left(\frac{4}{7}\right)^2 + 44\left(\frac{4}{7}\right) - 32 = 7\frac{64}{343} - 14\frac{16}{49} + \frac{176}{7} - 32 = \frac{64}{49} - \frac{224}{49} + \frac{1232}{49} - \frac{1568}{49} = \frac{64 - 224 + 1232 - 1568}{49} = \frac{-596}{49} \neq 0 \]

У кубического уравнения \( 7x^3 - 14x^2 + 44x - 32 = 0 \) есть только один действительный корень, так как его производная \( 21x^2 - 28x + 44 \) имеет отрицательный дискриминант \( D = (-28)^2 - 4(21)(44) = 784 - 3696 < 0 \), что означает, что функция монотонно возрастает, и пересекает ось x только один раз.

Таким образом, действительные корни уравнения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Сколько корней имеет уравнение?

Уравнение имеет 2 действительных корня.

Введите рациональные корни уравнения

\( -2 \)

\( 2 \)