Решите уравнение √(x+5)=x-1.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{x+5} = x-1 \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{x+5})^2 = (x-1)^2 \)
2. Упростим: \( x+5 = x^2 - 2x + 1 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0 \)
4. Приведём подобные члены: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-3 \), \( c=-4 \).
6. \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
7. Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня.
8. Найдём корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
9. \( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
10. \( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
11. Теперь проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение \( \sqrt{x+5} = x-1 \).
12. Проверка для \( x_1 = 4 \): \( \sqrt{4+5} = 4-1 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 = 3 \). Корень \( x=4 \) подходит.
13. Проверка для \( x_2 = -1 \): \( \sqrt{-1+5} = -1-1 \Rightarrow \sqrt{4} = -2 \Rightarrow 2 = -2 \). Это неверно. Корень \( x=-1 \) не подходит, так как по определению арифметического квадратного корня \( \sqrt{a} \ge 0 \), а \( x-1 \) в данном случае отрицателен.

Ответ: 4