Решите уравнение x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0.

Решение:

Для решения кубического уравнения \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \) можно попробовать сгруппировать слагаемые:

1. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых: \( (x^3 + 5x^2) + (-x - 5) = 0 \).
2. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( x^2(x + 5) - 1(x + 5) = 0 \).
3. Теперь вынесем общий множитель \( (x + 5) \): \( (x + 5)(x^2 - 1) = 0 \).
4. Разложим множитель \( (x^2 - 1) \) как разность квадратов: \( (x + 5)(x - 1)(x + 1) = 0 \).
5. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:
• \( x + 5 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -5 \)
• \( x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 \)
• \( x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \)

Ответ: x₁ = -5, x₂ = -1, x₃ = 1.